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Dirichlet積分

広義Riemannの意味で存在して，Lebesgueだと存在しない積分

Lem. 不等式
\frac{2}{\pi} \leq \frac{\sin x}{x}

Prop. Dirichlet積分
\int_0^\infty \frac{\sin a x}{x} dx = \frac{\pi}{2} \mbox{ sgn } a 

[証明]は複素積分で行う。
積分路は

Prop. Lebesgueの意味では存在しない。
即ち，絶対積分は発散する。
\int_\mathbb{R} \Big| \frac{\sin x}{x} \Big| dx = \infty

Cf. 以下は広義RとLいずれの意味でも存在する。
\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^p} dx \quad (1 < p < \infty)

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最終更新：2009年08月29日 16:14
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