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Fourier変換

重要公式
\frac{1}{(2 \pi)^m}\int_{\mathbb{R}^m} e^{- \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} d \mathbf{k} = \delta(\mathbf{x})
逆変換公式を示すのに使う。

３次元のFourier変換 

反転公式
まずここから変換と逆変換を取り出すわけ。

電磁気系の定義
\mathcal{F}[u(\mathbf{r})] := \iiint_{\mathbb{R}^3} u(\mathbf{r}) e^{- i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d\mathbf{r}
 \mathcal{F}^{-1}[U(\mathbf{k})] := \left( \frac{1}{2 \pi} \right)^3 \iiint_{\mathbb{R}^3} U(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} d\mathbf{k}

ベクトル値関数への拡張
※この拡張はここでの便宜のために導入した。他ではあまり見たことがない。
  ←ベクトル解析で\int \mathbf{A}(t)dt = \left( \int A_x (t)dt,\int A_y (t)dt,\int A_z (t)dt\right)ということはやってた。
以下の公式は形式的なものなので収束とかはいちいち確かめること。
ベクトル値関数に対するFourier変換を次のように成分毎の変換で拡張しておく。
\mathcal{F}\left[\begin{pmatrix} u(\mathbf{r}) \\ v(\mathbf{r}) \\ w(\mathbf{r}) \end{pmatrix}\right] := \begin{pmatrix} \mathcal{F}[u(\mathbf{r})] \\ \mathcal{F}[v(\mathbf{r})] \\ \mathcal{F}[w(\mathbf{r})] \end{pmatrix}

偏微分の部分積分
\mathcal{F} \left[ \frac{\partial u(\mathbf{r})}{\partial x_i} \right] = i k_i \, \mathcal{F}[u(\mathbf{r})]

勾配 grad
ナブラ(grad)は次のように変換する。要するに部分積分である。
\mathcal{F}[\nabla u(\mathbf{r})] = i \mathbf{k} \, \mathcal{F}[u(\mathbf{r})]
作り方から，３次元に限らずｎ次元で成り立つ。

発散 div
線形性と偏微分の部分積分のコンボ
\mathcal{F}[\nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{r})] = \sum_{i=1}^3 \mathcal{F}\left[\frac{\partial A_i(\mathbf{r})}{\partial x_i}\right] = \sum_{i=1}^3 i k_i \mathcal{F}[A_i(\mathbf{r})] = i \mathbf{k} \cdot \mathcal{F}[\mathbf{A}(\mathbf{r})]
作り方から，３次元に限らずｎ次元で成り立つ。

ラプラシアン(div grad)
div と grad のコンボ
\mathcal{F}[\triangle u(\mathbf{r})] = \mathcal{F}[\nabla \cdot \nabla u(\mathbf{r})] = i \mathbf{k} \cdot \mathcal{F}[\nabla u(\mathbf{r})] = i\mathbf{k} \cdot i\mathbf{k} \, \mathcal{F}[u(\mathbf{r})] = -|\mathbf{k}|^2 \, \mathcal{F}[u(\mathbf{r})]
作り方から，３次元に限らずｎ次元で成り立つ。

回転 rot
\mathcal{F}[\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})] = i \mathbf{k} \times \mathcal{F}[\mathbf{A}(\mathbf{r})]
ベクトルの外積は３次元に限って定義されるから，この公式は３次元に限る。

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最終更新：2010年06月12日 00:29
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