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Jordan標準形

環論の準備 

イデアル
R：Ring, R⊃I: Sub Set
IがRの(左)イデアルとは，
1. a,b \in I \Rightarrow a+b \in I
2. a \in I, r \in R \Rightarrow ra \in I ←ここが ar なら右イデアル。可換なら両側イデアル。

イデアルの生成元
S := \{a_1, \cdots, a_r\} \subset Rが生成するイデアルとは，次で与えられる。
\langle S \rangle = \langle a_1, \cdots, a_r \rangle = \{ r_1 a_1 + \cdots + r_r a_r | a_i \in S, r_i \in R\}
(S)はSを含む最小のイデアルであり，Sを含む全てのイデアルの共通部分である。

多項式環
実数体上の多項式環 R := \mathbb{R}[X] を考えることにする。
体上の多項式環はユークリッド整域である。即ち，割り算の定理が成り立つ。
さらに，素元分解整域である。（ED ⇒ PID ⇒ UFD）

Lem. 互いに素
1. 多項式f,gが互いに素とする。このとき，適当な多項式a,bがあって，
  a(x)f(x)+b(x)g(x) \equiv 1
  とできる。
1' 上の関係式に正方行列Aを代入したものも成り立つ。
  a(A)f(A)+b(A)g(A) \equiv I
2. 互いに素な多項式の数を増やしても成り立つ。
  a_1(x)f_1(x)+ \cdots + a_n(x)f_n(x) \equiv 1
2' 行列多項式でもおｋ

Th. PID上の多項式環は単項イデアル整域
多項式{fi(x)}の最大公約元をd(x)とする。以下が成り立つ。
a_1(x)f_1(x)+ \cdots + a_n(x)f_n(x) \equiv d(x)

最小多項式 

Def. 行列の多項式
正方行列の行列多項式f(A)は因数分解と展開を自由に行うことができる。

Def. FA
正方行列を１つとって固定する。
f(A)=O となる多項式の全体を\mathcal{F}_Aと書くことにする。

Th. Hamilton-Cayley
正方行列Aの固有多項式 Φ(λ):=det|A-λI| に対し以下が成り立つ。
\Phi(A)=O
即ち，\Phi(\lambda) \in \mathcal{F}_A

Rem. 
ここで，行列の「代入」は多項式に対して形式的に定義されたものだから，
固有多項式の定義式 det|A-λI| に直接突っ込むわけにはいかない！

Def. 最小多項式
\mathcal{F}_Aの元で，次数が最小となるモニック多項式をAの最小多項式といい，
\phi_A(\lambda)と書く。

Prop. 最小多項式は唯一存在する。
HC定理から，\mathcal{F}_Aは常に空でないことが分かる。
r次の最小多項式が２つあったとして，それをf,gとする。h=f-gとおく。
hが恒等的に０でないとすれば，hの次数はr未満で，定義から h(A)=O となるが，これはf,gの最小性に反する。
よって最小多項式は唯一存在する。

Prop. FAの正体
\mathcal{F}_A = \langle \phi_A \rangle
即ち，{}^\forall f \in \mathcal{F}_A {}^\exists g \in \mathcal{R} \quad {\rm s.t. } \quad f = g \phi_A

Cor. 最小多項式の根は全て固有値
一方，逆が成り立つ。

Th. 固有値は全て最小多項式の根
\phi_A(\lambda) = (\lambda-\lambda_1)^{k_1} \cdots (\lambda-\lambda_r)^{k_r}
最小多項式の重複度 1 \leq k_i \leq m_i を標数という。
（miは代数的重複度。つまり固有多項式の重複度。）

Cor. 代数的重複度がすべて１なら 固有多項式＝最小多項式

一般固有空間 

Th. Ker f(A)g(A)
互いに素な多項式 f,g に対し，f(A),g(A)をそれぞれ線形写像とみなしたとき以下が成り立つ。
{\Ker }f(A)g(A) = {\rm Ker }f(A) \dot{+} {\rm Ker}g(A) (非交和)
即ち，{}^\forall x {}^{\exists !} y,z \quad {\rm s.t. } \quad f(A)g(A)x=o \Rightarrow x=y+z, \ f(A)y=o, g(A)z=o

Cor. 
{fi(x)}互いに素
{\rm Ker } \prod f_i(A) = \coprod {\rm Ker}f_i(A)

Def. 一般固有ベクトル・一般固有空間
固有値λの標数kとする。以下を満たすvを一般固有ベクトルという。
(A-\lambda I)^k v = o
また，一般固有ベクトルの全体に０を含めたものを一般固有空間という。
G_\lambda := \{ v \in V | (A-\lambda I)^k v = o \}
通常の固有ベクトルは一般固有ベクトルである。

Th. 全空間は常に一般固有空間の直和に分解される
V = \coprod G_{\lambda_i}
[証明]
f_i(\lambda) := (\lambda-\lambda_i)^{k_i} とおく。
\phi_A = \prod f_iで，しかも{fi}は互いに素である。
従って定理より {\rm ker} \phi_A(A) = \coprod {\rm Ker} f_i(A)
左辺は \phi_A(A)=0 より全空間Vと一致する。
右辺は定義より一般固有空間になる{\rm Ker f_i} = G_{\lambda_i}。
従って命題が成立する。

Cor. 半単純の判定条件
以下のいずれか（従って全て）が成り立つとき，かつそのときに限りAは半単純である。
1. 一般固有空間が固有空間になる。F_{\lambda_i} = G_{\lambda_i} \quad ({}^\forall i)
2. 最小多項式が重根を持たない。k_i = 1 \quad {}^\forall i
3. 相異なる固有値を並べた多項式 f(\lambda) := (\lambda-\lambda_1) \cdots (\lambda-\lambda_l) に対し，f(A)=O が成立。

Th. 一般スペクトル分解(Jordan分解)
任意の正方行列Aは半単純行列Sと冪零行列Nの和に分解できる。
ここで S,N はAの多項式で与えられ，可換であり，可換性を保つかぎり分解は一意である。
[証明]
全空間は一般固有空間に直和分解されるから，付随する射影の組が存在する。...

Cor. S,Nの構成
一般スペクトル分解 A=S+N
半単純行列 S=\lambda_1 P_{\lambda_1} + \lambda_r P_{\lambda_r}
冪零行列 N=(A-\lambda_1 I)P_{\lambda_1} + \cdots + (A-\lambda_r I)P_{\lambda_r}
一般固有空間への射影 P_{\lambda_i} = h_i(\lambda) \frac{\phi_A(\lambda)}{(\lambda-\lambda_i)^{k_i}}
ただしhは部分分数展開の分子 \frac{1}{\phi_A(\lambda)} =: \frac{h_1(\lambda)}{(\lambda-\lambda_1)^{k_1}}  + \cdots +  \frac{h_r(\lambda)}{(\lambda-\lambda_r)^{k_r}}
実は，最小多項式を固有多項式，標数kを代数的重複度mに読み替えてもおｋ

Jordan標準形 

A=S+N のSは上手く座標変換すると対角化できる。
さらに上手く座標変換するとNも冪零行列の標準形にできる。
結局，例の形になる。

ステップ
1. 固有値を求める。
2. 固有ベクトルを求める。
3. 足りない分は，一般固有ベクトルで補う。
  (A-\lambda I)^2 v^{(2)} = 0
  (A-\lambda I)^3 v^{(3)} = 0
  ...
  と探していけばよい。
3' 実際には，次のようにして求める。
  (A-\lambda I) v^{(2)} = v^{(1)}
  (A-\lambda I) v^{(3)} = v^{(2)}
  ... 
4. 標準化行列 T := [v_1^{(1)} \ v_1^{(2)} \cdots v_1^{(k)} v_2^{(1)} \cdots v_r^{(k)}]
   Jordan標準形 T^{-1}AT = \coprod J_{i,j} （Jordan細胞を若い順に左上から並べたもの）完成

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最終更新：2009年08月23日 12:00
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