nopu@wiki
nopu@wiki

Lp関数

可測関数 L(X)

Rdの可積分関数と連続関数を包含する巨大なクラス。
各点収束で閉じている。

特に，正値可測関数fは単関数による各点収束の意味での近似をもつ。
さらにfが有界であれば一様収束。

Def. 可測関数
測度空間(X,M,μ)　←まず測度ありき。
関数 f:X→R が可測関数とは，任意の区間の逆像が可測集合になることである。
{}^\forall I \subset \mathbb{R} \mbox{ : interval} \quad f^{-1}(I) \in \mathcal{M}

Th. Luzin
可測関数はほとんど連続関数に等しい。
I：有限区間
f \in L(I) , \quad |f| \leq M {\rm   a.e.}
このとき，以下が成り立つ。
{}^\forall \epsilon >0 \ {}^\exists \phi \in C(I) \quad {\rm   s.t. } \mu \{ x \in I | f(x) \neq \phi(x) \} < \epsilon

Th. Egorov
測度有限集合上，可測関数列は概収束すればほとんどいたるところ一様収束
\mu(E) < \infty 上の可測関数列 \{ f_n \}_{n=1}^\infty
ある関数があって，f_n \to f \mbox{ a.e.}
このとき以下が成り立つ。
{}^\forall \epsilon >0 \ {}^\exists N \subset E \mbox{ s.t. } \mu(N)<\epsilon, \ f_n \rightrightarrows f \mbox{ in } E \setminus N

半連続 

可測関数の絡みとかで使う

Def. 下半連続
f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} が下半連続であるとは，
任意のa∈Rに対して \{ x | f(x) > a\} が開集合になることをいう。

Def. 上半連続
f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} が下半連続であるとは，
任意のa∈Rに対して \{ x | f(x) < a\} が開集合になることをいう。

Prop. 連続関数は半連続

Prop. 半連続関数はLebesgue可測

可積分関数 L1

絶対可積分と同値
\left \{ f:\mbox{measurable } \Big| \int_\Omega |f| d \mu < \infty \right \}

Prop. コンパクトサポートな連続関数はL1
C_0(\mathbb{R}^d) \subset L^1(\mathbb{R}^d)

Rem. 含まれない関数
1. sin x はRでL可積でない。
2. 定数関数もL可積でない。

Rem. ノルムを入れる場合の注意
\| f \|_{L^1}=0 \Rightarrow f=0 が成り立つためには，
元の空間を零関数の集合による同値関係で割っておかねばならない。
零関数の集合はL1の部分空間である。

L1loc

局所可積分

Th. 
a.e.x∈Ωはf \in L_{loc}^1(\Omega)のルベーグ点

L∞

本質的上限ノルム

Lp

p=1,∞ はしばしば別扱いになる！

Th. 共役空間
1 \leq p,q < \infty, \ q \neq 1, \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 とする。
{}^\forall \phi \in L^p(\Omega)^* {}^\exists g \in L^q(\Omega) 
\mbox{ s.t. } {}^\forall f \in L^p(\Omega) \quad \phi f = \int_\Omega fg dx
\phiはf,gいずれに対しても有界線形作用素であり，
これを同型写像として L^p(\Omega)^* \cong L^q(\Omega)

Cor. 反射的（回帰的）Banach Sp.
1<p<\inftyとする。以下が成り立つ。
(L^p)^{**}=L^p

Cor. L2
特に L2 について以下が成り立つ。
(L^2)^* = L^2

Th. Lp関数の近似
1≦p<∞, f∈Lp(Ω)
{}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists \phi \in C_c(\mathbb{R}^d) \mbox{ s.t. } \|f-\phi \|_{L^p(\Omega)}<\epsilon
つまり，Ω上でfにLp収束するようなRdの連続関数列がとれる。
従って特に，Ω上でfに概収束するようなRdの連続関数列がとれる。（Lp収束⇒概収束部分列が存在）

Th. C0∞(Ω) は Lp(Ω) で稠密

タグ：

+ タグ編集
  • タグ：

このサイトはreCAPTCHAによって保護されており、Googleの プライバシーポリシー と 利用規約 が適用されます。

タグの更新に失敗しました
エラーが発生しました。ページを更新してください。
ページを更新
「Lp関数」をウィキ内検索
最終更新：2009年08月26日 22:36
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。