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ODE論

一変数だけの微分ならODE
つまり，時間の関数についての方程式はODE
回路方程式，運動方程式，etc...

微分方程式をどうやって調べるか？
ほとんどの方程式は解析的に解けない(19c末の認識)　→　位相力学的方法（Poincare）
1. 解の存在
2. 解の一意性
3. 解の連続性　←適当なパラメータ(初期値とか)依存性のこと。

基本となる例 

Prop. 平均値の定理の系
I=[a,b]
f∈D(I) （←平均値の定理が使えるための条件）
|f'(x)| \leq M \ \Rightarrow \ |f(y)-f(x)| \leq M|y-x| \mbox{ for all } x,y \in (a,b)
特に，f'(x)=0 のとき fは定数

Cor. f'=const.
f∈D(I)
f'(x) = \gamma (const.) \ \Rightarrow \ {}^\exists c \mbox{ s.t. } f(x)=\gamma x+c

Prop. f'=f
f(x)=f(0)e^{cx}

Th. Picard-Lindelöf (詳細は「一般のODE」にある)
初期値問題
f(x):I→f(I)⊂J⊂R; unknown conti.
φ(x,y):I×J→R; bilinear
\begin{cases} f'(x)=\phi(x,f(x)) \\ f(x_0)=y_0

φがx \in B_\rho (x_0), y \in B_\eta (y_0)で有界かつ連続とする。
|\phi(x,y)| \leq M
さらに，このyに対してリプシッツ連続とする。
|\phi(x,y_2)-\phi(x,y_1)| \leq L |y_2-y_1|
このとき，x0の適当な近傍Bh(x0)で唯一の解が存在する。

線形の場合 

Cauchy問題（１階線形ODEの初期値問題）(1)
\begin{cases} x^{(n)}(t) + p_1(t) x^{(n-1)}(t) + \cdots + p_n(t) x(t) = q(t) \\ x(t_0)=x_0, x'(t_0)=x_1, \cdots, x_{(n)}(t_0)=x_n \end{cases}

Th. 線形常微分方程式の解の一意存在
pi(t)とq(t)が開区間Iで連続ならば，Iでユニークな解x(t)が存在する。

Cor. 同次方程式の基本解
q(t)=0とした方程式（同次方程式）(2)
x^{(n)}(t) + p_1(t) x^{(n-1)}(t) + \cdots + p_n(t) x(t) = 0
の一般解は，n個の独立な基本解の線形結合で与えられる。

Th. 基本解の独立性判定法
n個の基本解が互いに独立
⇔ 基本解の Wronskian が０にならない。

Def. 正規形

一般のODE 

解の存在する区間は，線形のときほど広くない。

初期値問題(1)
\begin{cases} \frac{d \mathbf{u}(t)}{d t} = f(t,\mathbf{u}(t)) \\ \mathbf{u}(t_0)=\mathbf{\eta} \end{cases}
ただし、
\mathbf{u}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^n
f:D \to \mathbb{R}^n
(t_0,\mathbf{\eta}) \in D \subset \mathbb{R}^{n+1} \textrm{ : domain}}

Prop. (1) は以下の積分と同値
 \mathbf{u}(t) = \mathbf{\eta} + \int_{t_0}^t \, f(\tau,\mathbf{u}(\tau)) d\tau
とりあえず(1)を積分してみれば分かる。

Th. Picardの逐次近似法
初期値問題(1)の局所解の構成法

f : C1級 とする。
関数列 {vk} を以下で定義すると，
v^0(t) \textrm{ : conti., }
v^0(t_0) = \eta
v^{k+1}(t) := \eta + \int_{t_0}^t \, f(s,v^k(s)) ds
これは区間 I_\delta := [t_0 - \delta, t_0 + \delta] \textrm{ for } ^\exists \delta 上で一様収束し、その極限は(1)のIδにおける局所解である。

Th. Cauchyの折れ線近似
f : 連続の場合に、初期値問題(1)の局所解の存在を示す方法（その１）
Eulerの差分法
以下の数列{u0}を考える。
u_0=\eta, \, \frac{u_{k+1}-u_k}{\epsilon} = f(t_0+k \epsilon,u_k)
点列\{(t_0+k\epsilon,u_k)\}を順に結んで得られる折れ線グラフをuεとする（Cauchyの折れ線関数）。
関数族 {u^\epsilon(t)} の一様有界かつ同等連続になることが示されるので、Ascoli-Alzelaの定理によって適当なεの減少列｛εj｝が取れて、関数列{u^{\epsilon_j}(t)}は適当な区間Iδ上で一様収束する。
得られる極限関数が局所解である。

Cor. 大域解の存在
f : Lipschitz 連続のときは、大域に拡張できる。

Th. Schauderの不動点定理
f : 連続の場合に局所解の存在を示す方法（その２）
次の積分作用素が不動点を持つことを示せばよい。
F(u) := \eta + \int_{t_0}^t \, f(s,u(s)) ds
Fは適当なIδ上のコンパクト作用素になるので、Schauderの不動点定理により、少なくとも１つ不動点を持つ。

解の一意性 

fがC1級のとき、初期値問題(1)の解はあれば一意。
証明には Gronwallの補題 を使う。

Cor. 解の初期値に対する連続依存性
さらに、初期値ηを解u(t;η)のパラメータとみたてると、uはt,ηの連続関数である。

Lem. Gronwallの補題
\phi(t) \, conti.
^\exists c \in \mathbb{R}, \ ^\exists L \geq 0 \phi(t)
\phi(t) \leq c + \int_{t_0}^{t} L \phi(s) ds \quad (t_0 \leq t \leq t_1)
  \Rightarrow \phi(t) \leq c e^{L(t-t_0)} \quad (t_0 \leq t \leq t_1)

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最終更新：2009年08月26日 12:30
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