数学においてガンマ関数（ガンマかんすう、Gamma function）とは、階乗の概念を一般化した特殊関数。 互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者オイラーが階乗の一般化として、最初に導入した。
実部が正となる複素数z について、次の積分で定義される関数
\Gamma(z)=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\real{z}>0)
をガンマ関数と呼ぶ[1]。この積分は、ルシャンドルの定義にしたがって、第二種オイラー積分とも呼ばれる。元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、Γという記号は、ルジャンドルが用いたものである。それ以前はΠ(x)などと表記していた（ただしΠ(x) = Γ(x + 1)）。
一般の複素数zについては、解析接続もしくは次の無限乗積で定義される。
\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}
基本的性質 [編集]
基本的性質 [編集]
ガンマ関数は、階乗の複素数への拡張としてオイラーによって考案されたものであり、自然数nについて
\Gamma(n+1)=n! \,
が成立する。 実際、オイラー積分による定義から
\Gamma(z)=\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-1}(-e^{-t})'}\,dt=\left[-t^{z-1}e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}+(z-1)\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-2}e^{-t}}\,dt=(z-1)\Gamma(z-1)
\Gamma(1)=\int_{t=0}^{\infty}{e^{-t}}\,dt=\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}=1
\Gamma(1)=\int_{t=0}^{\infty}{e^{-t}}\,dt=\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}=1
であり、自然数nについてΓ(n + 1) = n!が成り立つ。従って、ガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものといえる。そのような関数は無数に存在するが、正の実軸上で対数凸である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない（→ボーア・モレルップの定理）。右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に有理型に解析接続する。ガンマ関数は零点を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。その留数は、
{\rm Res}(\Gamma , -n) = \frac{(-1)^n}{n!}
である。また、非整数でのガンマ関数の値のうちでおそらく最も有名なのは、ガウス積分になる以下の場合であろう。
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}
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