幾何20050613220603 - 面白い問題おしえて～な＠数学板

問題

44 名前：１３２人目の素数さん[sage 算数スレに書いてみたが完全無視されたorz] 投稿日：2005/06/13(月) 22:06:03
半径が10、18、35の三つの円があり、それぞれは他の二つと外側で接している。
この状態の三つの円を内側に含み、全てと接する円の半径はいくらか？

解答

66 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/22(水) 14:09:39
>>44の問題に関連してこんな定理みつけた。なんかいかにも
初等幾何でありそうな定理なんだけど。もしかして有名だったりとか？
　
定理　半径Ra,Rb,Rcの円Ca,Cb,Ccが互いに外接をしておりその中心をA,B,Cとする。
　　　　円Ca,Cb,Ccすべてに接する円の小さいほう（２つある）の半径をR、
　　　　三角形ABCの内接円の半径をIとするとき次が成立
　
　　　　　　1/R=1/Ra+1/Rb+1/Rc+2/I
　
ちなみにCa,Cb,Ccすべてと接する円C'がもう一つあってそいつの半径R'は
1/R'=|1/Ra+1/Rb+1/Rc-2/I|になるようだ。（C'はCa,Cb,Ccすべてと内接するときと
外接するときがあってそれぞれの場合で絶対値の中の符号がきまる。）
いまんとこ複素座標とって円円対応の原理とかつかって力技で証明した。
できた形みるとなんかいかにもスパっとしめせそうな悪寒なんだけど･･･

67 名前：66[sage] 投稿日：2005/06/22(水) 16:07:45
いま検索してみたらどうもデカルトの円定理とかいうやつらしい。
>>44の問題解くには>>66の“ちなみに～”の部分を使うんだけどそれはデカルトの円定理
とはいわないようだ。まあオレの証明だと±をちょっと替えて場合分け一回やるだけなんだけど。
ぐぐっても証明みつからんということはそんなズバット瞬殺するような方法はないんだろうな。