圧力が体積に比例する理想気体の変化

「かぎしっぽ」の質問から。 $P=kV$ にしたがって変化する理想気体の熱力学。

問題：理想気体の状態方程式 $PV=RT$ に従う $C_p/C_v=\gamma$ の気体があり、 $P=kV$ （ただし $k$ は比例定数）で体積を $V_A$ から $V_B$ に変化させる。 $V_B=2V_A$ として、終状態までに(1)気体がする仕事、(2)吸収する熱、(3)内部エネルギーの変化を求めよ。

気体がする仕事は，

$W=\int_{V_A}^{V_B}PdV=k\int_{V_A}^{V_B}VdV=\frac{3}{2}k{V_A}^2.$ 　....　(1)

定積比熱 $C_v$ は，定積変化（ ${\it\Delta} V=0$ ）において熱力学第一法則により
$Q={\it\Delta U}$
であるから，
$C_v = \frac{Q}{{\it\Delta}T} = \frac{{\it\Delta}U}{{\it\Delta}T}$
と書ける。

また，定圧比熱 $C_p$ は，定圧変化（ ${\it\Delta}P=0$ ）において熱力学第一法則により
$Q={\it\Delta}U+P{\it\Delta}V=C_v{\it\Delta}T+R{\it\Delta}T$
であるから
$C_p = \frac{Q}{{\it\Delta}T} = C_v+R.$
一方， $C_p/C_v=\gamma$ だから
$C_v=\frac{R}{\gamma-1}$
となる。