場と源の対称性と次元 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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場と源の対称性と次元

私たちの宇宙は３次元であるから，万有引力もクーロン力も逆２乗場である。Algodooで擬似遠心力の実現を考えながら，場とその源の対称性と次元についてあらためて思い当たったこと。

(1)　点電荷がつくる電場は，距離の２乗に反比例する

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{r^2}$
　or
$E = \frac{Q}{\varepsilon_0S},\quad S=4\pi r^2$

これはクーロンの法則または，それと同値なガウスの法則に当たる。

ガウスの法則を用いると，直線電荷や平面電荷がつくる電場は容易に計算できて・・・

(2)　線電荷がつくる電場は，距離に反比例する

$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$

(3)　面電荷がつくる電場は，一様である

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

という結果が得られる。以上の結果は，もちろん点電荷のつくる場を直線や平面にわたって積分しても得られる。線電荷密度 $\lambda$ の中には $($ 長さ $)^{-1}$ の次元が含まれるから，それを源として得られる場は $($ 距離 $)^{-1}$ に比例し，面電荷密度 $\sigma$ の中には $($ 長さ $)^{-2}$ の次元が含まれるから，場に $($ 距離 $)$ が入る余地がないということもできそうだ。

源からの距離に反比例する「逆１乗場」について考えてみた。

(1)　点がつくる場は，距離に反比例する

$E = \frac{Q}{r}$

電場 $E$ と電荷 $Q$ の文字をそのまま借用したが，単に場とその源をさすものとする。

(2)　線がつくる場は，距離に関係なく強さ一定である

源の線密度 $\lambda$ として，座標 $x$ にある長さ $dx$ が直線からの距離 $r$ につくる場の垂直成分は，

$dE = \frac{\lambda dx}{\sqrt{x^2+r^2}}\cdot\frac{r}{\sqrt{x^2+r^2}}$

したがって，これを直線にわたって積分すると，

$E = \lambda r \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+r^2} = \lambda \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta = \pi\lambda$

を得る。

(3)　面がつくる場は，無限大に発散する

単位面積を垂直に貫く力線数が場の強さであると定義すると，逆１乗場では点から出る力線数が距離に比例して増加しなければならない。このため，積分してもわかるように無限平面を源とする場は無限大に発散する。

逆１乗場は，３次元空間にとってはやっかいなシロモノである。Phun（Algodoo）のような２次元空間にこそふさわしい。

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最終更新：2009年10月07日 23:18

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