降り注ぐ粒子群の中の物体

早大'09入試問題より。降り注ぐ粒子群から力積を受ける物体の運動。分子運動論に類似の難問。

【問題】
図のように，なめらかな水平面上に面積 $S$ ，傾角 $\theta$ の斜面をもつ，質量 $M$ の斜面台があり，右向きに速さ $V$ で動いている。一方，質量 $m\; (m \ll M)$ の粒子が単位体積当たり $n$ 個の数密度で一様に分布しており，一定の速さ $v$ で鉛直下方に降り注いで台に弾性衝突をする。以下重力や摩擦の影響は無視でき，一度台や水平面に衝突した粒子は，その後の台の運動に影響を与えないものとする。また，粒子どうしの衝突は考慮しなくてよい。