２次元ばね振子

阪大'06（後期）入試問題より。左右両側から２本のばねに引かれた質点の２次元の振動。

【問題】
なめらかな水平面に質量 $m$ の小球を置き，自然長 $l_0$ ，ばね定数 $k$ の２本の軽いばね，ばね１およびばね２につないでその両端を座標 $(-l,0)\;,\;(\;l,0)$ に固定した。ただし， $l_0&lt;l$ とする。以下では， $a , b$ がともに $l , l-l_0$ に比べて十分小さい場合で， $a , b$ について一次の項までをとる近似を考える。たとえば小球が $(a,b)$ にあるとき，ばね１，２の長さ $L_1 , L_2$ に対して次の近似が成り立つことを用いてよい。

$L_1 \fallingdotseq l\left(1+\frac{a}{l}\right)\qquad \frac{1}{L_1} \fallingdotseq \frac{1}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right)$

$L_2 \fallingdotseq l\left(1-\frac{a}{l}\right)\qquad \frac{1}{L_2} \fallingdotseq \frac{1}{l}\left(1+\frac{a}{l}\right)$

(1) 小球が $(a,b)$ にあるとき，ばね１とばね２から受ける合力の， $x$ 成分と $y$ 成分をそれぞれ求めよ。

(2) 時刻 $t=0$ に，点 $(a,b)\;(a>0 , b>0)$ から静かに小球を放す。運動方程式によれば，この後の小球の $x$ 方向， $y$ 方向の運動は，それぞれ振幅 $a , b$ の独立な単振動であることがわかる。時刻 $t$ における位置座標 $(x,y)$ を与える式を示せ。