コンデンサーの貯水槽モデル（その２）

かぎしっぽのQ&Aより。コンデンサーの貯水槽モデル（試論）に続く試論第２弾。苦肉の借金対策？

【問題】
図のスイッチ ${\rm S}_1,{\rm S}_2$ は連動して左右に切り替えることができる。初めコンデンサーの電荷は0であったとする。スイッチをまず左に入れ，十分時間が経過した後に右に切り替えて十分な時間を待つ。この操作を $n$ 回繰り返した後のAB間の電位差 $V_{{\rm AB}n}$ を求め，無限回繰り返した場合の最終値を求めよ。

【解答】
$n$ 回目の操作の後の $C_1$ の電位差 $V_{1n}$ および， $C_2$ の電位差 $V_{{\rm AB}n}$ に対して，電気量保存および電圧の関係より次の式が成立する。

$C_1V_{1n} + C_2V_{{\rm AB}n} = C_1V_0 + C_2V_{{\rm AB}n-1}$

$V_{{\rm AB}n} - V_{1n} = V_0$

ただし，電位差はいずれも下極板に対する上極板の電位差とする。
上２式より $V_{1n}$ を消去して整理すると，

$V_{{\rm AB}n} - 2V_0 = \frac{C_2}{C_1+C_2}(V_{{\rm AB}n-1} - 2V_0)$

となる。したがって，

$V_{{\rm AB}n} = 2V_0\left\{1-\left(\frac{C_2}{C_1+C_2}\right)^n\right\}$

を得る。最終値は，

$V_{{\rm AB}\infty} = 2V_0$

である。

この問題における現象の概要は次のようなものである。

(1) $C_1$ を電位差 $V_0$ に充電する。
(2) $C_1$ の下の極板の電位を $C_2$ の下の極板に対して $V_0$ だけ底上げした上で， $C_1$ から $C_2$ へと電気量を配分する。

この(1)，(2)を繰り返す。(2)の最終状態は，両者の上の極板の電位が一致した状態である。初めのうち，この電位は $V_0$ より小さく $C_1$ は (1)でもらった電気量を超える電荷を放出するために，下の極板は＋になる場合もある。しかし， $C_2$ の電気量が増えるにつれて，上の極板の電位が上がっていき， $V_0$ を越した後は $C_1$ の最終電荷は上の極板が＋になる。(1)で $C_1$ は電位差 $V_0$ に充電されて，その後下の極板は電位 $V_0$ に底上げされるので，上の極板は(2)の操作でスイッチが切り替わった直後は，高さ $2V_0$ からより電位の低い $C_2$ の上の極板に電荷を落とすわけだ。 $C_2$ の上の極板の電位はしだいに $2V_0$ に近づき，無限回の操作の後に $2V_0$ に到達する。 $C_1$ はもはや充電されて上の極板が $2V_0$ に底上げされても，同じ高さになった $C_2$ の正極板に電荷を落とすことができなくなって終わりをつげる。

初めのうち， $C_1$ は電荷の符号が逆転する場合もあるので，なかなかよいモデルがみつからないが，この一連の流れはちょうど貯水槽1に水をくんでは，高く上げて貯水槽2に同じ水位になるまで配分するという操作にあたる。

※　図は $C_2=2C_1$ としている。１回目は $C_1$ は電源（ポンプ）から借金をして $C_2$ に電荷（水）を配分する。

したがって，最終状態を一気に実現するには， $C_1$ の上の極板の電位（貯水槽1の水位）を常に $2V_0$ にするために， $V_0$ の電源（ポンプ）を並列につないでおいて，なおかつもう一つの電源（ポンプ）で下の極板を $C_2$ の下の極板よりも $V_0$ だけ高い電位に保つようにする。 $C_1$ から電荷（水）が $C_2$ に放出されてもただちに $C_1$ は充電されて電位（水位） $2V_0$ を保つから， $C_2$ の上の極板の電位（水位）が $2V_0$ になるまで充電（給水）されることになる。 $C_2$ に対して抵抗による電圧降下をのぞけば $2V_0$ の電圧が加えられていることから，最終結果はあたりまえのものといえる。

下図は最終状態を一気に実現するための等価回路である。