ばねで連結された質点群の横振動

弦の定常波の不連続モデル。バークレー物理学コース「波動」を参考にした。

【問題】
質量 $M$ の質点が，ばね定数 $K$ で平衡点での長さ $a$ の軽いばねで多数連結され，全長 $L$ になるように伸ばされている。固定された左端をのぞいて左から $n$ 番目の質点に対し，図の $x$ 方向に

$A_n = A\sin kna$
　　　　　　　　　　　ただし， $k=\frac{2\pi}{\lambda} \quad,\quad \sin kL = 0$

の初期変位を与えていっせいに放したところ， $|A_n|$ を振幅として $x$ 方向にそれぞれ単振動し，波長 $\lambda$ の定常波が生じた。ばねの自然長は $a$ に対して無視でき，いわゆる「スリンキー近似」が使えるものとする。また，重力の効果は無視してよい。

(1) $n$ 番目の質点の変位を $x_n$ として，運動方程式をたてよ。
(2) $x_n = A_n\cos\omega t$ とおいて，運動方程式に代入することによって，振幅と角振動数 $\omega$ の関係を導出せよ。
(3) $A_n = A\sin kna$ 　を用いて，(2)の関係式から振幅を消去して $\omega$ の波長への依存性 $\omega=\omega(k)$ （分散関係）を求めよ。