運動方程式と力学的エネルギー保存

一般に，力学的エネルギー保存則は，運動方程式の経路積分であるエネルギー原理から得られる。よく見かける相対運動の問題場面で，運動方程式から力学的エネルギー保存を導出するという「遠回り」をやってみた。OKWaveのQ&Aから。

一般に，力学的エネルギー保存は，運動方程式の経路積分すなわち「エネルギー原理」から得られる。

$m\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}$

$\therefore m\boldsymbol{v}\cdot \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{F}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}$

${\rm i.e.}\quad {\it\Delta}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \int \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=-{\it\Delta}U\qquad \therefore {\it\Delta}\left(\frac{1}{2}mv^2 + U\right)=0$

このエネルギー原理を，よく見かける相対運動の問題場面に適用しようとした優秀な高校生がいた（OKWave）。

「摩擦のない水平面の上に、水平面と角 $\theta$ をなすなめらかな斜面を持つ質量 $M$ の台がある。その斜面上に質量 $m$ の小物体を置くと小物体と台はともに動き始める」

以下，抜粋。

小物体と台との間の垂直抗力を $n$ ，台と水平面の間の垂直抗力を $N$ ，重力加速度の大きさを $g$ とする。小物体の $x$ 方向の加速度を $a_x$ ， $y$ 方向の加速度を $a_y$ ，台の $x$ 方向の加速度を $A$ とすると，小物体および台の運動方程式は，

$x$ 方向：　 $ma_x = -n\sin\theta$ 　　　　　…(1)
$y$ 方向：　 $ma_y = -mg + n\cos\theta$ 　…(2)
$x$ 方向：　 $MA = n\sin\theta$ 　　　　　　　…(3)
$y$ 方向：　 $0 = N - Mg - n\cos\theta$ 　…(4)