軌道座標系の「等加速度」運動

Yahoo!知恵袋の質問から。軌道座標系において加速度が一定の運動を考察する。

軌道座標系というのは，基底を軌道の法線方向と接線方向にとる座標系である。それぞれの基底を $\boldsymbol{e}_n , \boldsymbol{e}_t$ と書けば，

$\boldsymbol{\alpha} = \alpha_n \boldsymbol{e}_n + \alpha_t \boldsymbol{e}_t$

軌道運動の曲率半径を　 $\rho$ ，角速度を　 $\omega$ 　とすると，

$\alpha_n = \rho\omega^2 \quad \therefore \rho = \frac{\alpha_n}{\omega^2}$

$\therefore \alpha_t = \frac{d(\rho\omega)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\alpha_n}{\omega}\right)$

であるから，積分して

$\alpha_t t = \alpha_n\left(\frac{1}{\omega}-\frac{1}{\omega_0}\right)\quad\therefore \omega(t) = \frac{\omega_0}{1+\alpha_t/\alpha_n\cdot\omega_0 t}$

ただし， $\omega(0)=\omega_0$ とした。これを再度積分すると，

$\theta(t) = \frac{\alpha_n}{\alpha_t}\log\left(1+\frac{\alpha_t}{\alpha_n}\omega_0 t\right)$

ただし， $\theta(0)=0$ 　にとった。また，軌道の曲率半径は，

$\rho(t) = \frac{\alpha_n}{\omega^2} = \frac{\alpha_n(1+\alpha_t/\alpha_n\cdot\omega_0 t)^2}{{\omega_0}^2}$

となる。曲率半径と進行方向角の関係を下図に示した。しかし，これは軌道を表してはいないことに注意したい。曲率中心は固定点ではないからである。なお，曲率半径は対数目盛りとなっている。

こちらが，軌道である。ただし，半径方向はやはり対数目盛り。

スケールを等方にした。青線は曲率中心の軌道である。どちらも同一時間分。

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最終更新：2010年04月27日 14:34

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