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有効ポテンシャルと惑星の軌道

Yahoo!知恵袋への回答をきっかけに，有効ポテンシャルと惑星の軌道の関連について整理してみた。

太陽を原点とし，太陽および惑星の速度を含む軌道面上における平面極座標を $(r,\phi)$ とする。

惑星の力学的エネルギーは，

$E = \frac{1}{2}m( \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 ) - \frac{GMm}{r} = {\rm const.}$

角運動量保存により，

$L = mr^2\dot{\phi} = {\rm const.}\quad \therefore \dot{\phi} = \frac{L}{mr^2}$

したがって，

$E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + V(r)$

を得る。ここに，

$V(r) = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}$

は動径方向を１次元運動として取り出して解析するのに用いられる「有効ポテンシャルエネルギー」である。第１項は遠心力のポテンシャルエネルギーといえる。

$V(r)$ は上図のような形状になり，

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E - V(r) \ge 0$

となる範囲で運動が起こる。惑星の力学的エネルギー $E$ の大小によって，軌道は次のように分離する。現実の惑星はもちろん，(3)に当たる。 $V(r)$ の最小値を $V_{\rm min}$ とするとき， $V_{\rm min} < 0$ である。

(1) $E < V_{\rm min}$ のとき

惑星はいかなる運動エネルギーも持つことができず，軌道は成立しない。

(2) $E = V_{\rm min}$ のとき

$\dot{r}=0$ となるから惑星は円軌道をとる。軌道半径は，

$r = -\frac{GMm}{2E} = \frac{L^2}{GMm^2}$

となる。

(3) $V_{\rm min} < E < 0$ 　のとき

運動は， $E - V(r) \ge 0$ を満たす $r$ の範囲で起こる。

不等式を具体的に書いて， $E &lt; 0$ に注意しつつ $r$ について整理すると，

$r^2 + \frac{GMm}{E}\;r - \frac{L^2}{2mE} \le 0$

となる。左辺 = 0 の解を $r_{\rm min},r_{\rm max}$ とおけば，

$r_{\rm min} = -\frac{GMm}{2E} - \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}$
$r_{\rm max} = -\frac{GMm}{2E} + \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}$

となり，運動は $r_{\rm min} \le r \le r_{\rm max}$ の範囲に限定される。 $r_{\rm min}$ は近日点距離， $r_{\rm max}$ は遠日点距離に他ならない。

(4) $E \ge 0$ のとき

不等式は，

$r^2 + \frac{GMm}{E}\;r - \frac{L^2}{2mE} \ge 0$

となるから，左辺 = 0 の解のうち意味のある正の方を $r_{\rm min}$ とおくと，

$r_{\rm min} = -\frac{GMm}{2E} + \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}$

運動は， $r \ge r_{\rm min}$ で起こる。 $E = 0$ で放物線軌道， $E &gt; 0$ で双曲線軌道となる。

【参考】

運動方程式から軌道方程式まで（１）
運動方程式から軌道方程式まで（２）
運動方程式から軌道方程式まで（３）

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最終更新：2010年08月12日 09:59

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