方位角の関数としての惑星のエネルギー

惑星の位置エネルギーおよび運動エネルギーを，方位角の関数として記述する。Yahoo!知恵袋より。

基本情報として，軌道方程式，軌道角運動量，半直弦

$r(\phi) = \frac{l}{1+e\cos\phi}\quad,\quad L = mr^2\dot{\phi}\quad,\quad l = \frac{L^2}{GMm^2}$

位置エネルギーは，

$U = -\frac{GMm}{r} = -\frac{L^2(1+e\cos\phi)}{ml^2}$

軌道方程式を時間微分して，角運動量を用いると，

$\dot{r} = \frac{Le \sin\phi}{ml}$

運動エネルギーは，

$K = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)$

　 $= \frac{L^2e^2\sin^2\phi}{2ml^2} + \frac{L^2}{2mr^2}$

　 $= \frac{L^2(1+e^2+2e\cos\phi)}{2ml^2}$

を得る。 $e=0$ ならば円軌道でよく知られた $K=-U/2$ が得られる。

全力学的エネルギーは，

$E = K + U = -\frac{L^2(1-e^2)}{2ml^2}$

となる。

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最終更新：2011年02月06日 11:43

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