パウリ行列と演算子の指数関数

パウリ行列の特性と，パウリ行列を含む演算子の指数関数の問題。Yahoo!知恵袋より。

【問題】

$a_x,a_y,a_z$ をそれぞれパウリ行列とし、 $\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z)$ とする。このとき、

(1) 任意のベクトル $\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ について、

$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}){\sf I}+i\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})$

が成り立つことを示せ。ただし、 ${\sf I}$ は２行２列の単位ベクトル、 $i$ は虚数単位である。

(2) $\boldsymbol{b}$ を任意の３次元ベクトルとする。このとき、演算子 $\exp(i\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})$ を $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ の内積の一次式で表せ。また、この演算子の物理的意味を記せ。

【解答】

$a_x = \left(\begin{matrix}0\quad1\\1\quad0\end{matrix}\right)\qquad a_y = \left(\begin{matrix}0\quad-i\\i\qquad0\end{matrix}\right)\qquad a_z = \left(\begin{matrix}1\qquad0\\0\quad-1\end{matrix}\right)$

(1)

$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}) = \left(\begin{matrix}\qquad b_z\qquad b_x-ib_y\\b_x+ib_y\quad-b_z\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\qquad c_z\qquad c_x-ic_y\\c_x+ic_y\quad-c_z\end{matrix}\right)$

　　　　　　 $= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} + i(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_z\qquad (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_y + i(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_x\\-(\boldsymbol{b}\times\boldsymol{c})_y + i(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_x\qquad\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} - i(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_z\end{matrix}\right)$

　　　　　　 $= (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}){\sf I} + ia_x(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_x + ia_y(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_y + ia_z(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})_z$

　　　　　　 $= (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}){\sf I} + i\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})$

(2)

$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2 = b^2{\sf I}$

$\exp(i\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}) = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{(2n)!}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})^{2n} + i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})^{2n+1}$