単振動をエネルギー保存から解く

Yahoo!知恵袋より。単振動はエネルギー保存からすっきり解ける好例である。

【問題】
ばね定数 $k$ のばねに結ばれた質量 $m$ の質点の単振動を考える。この系のエネルギー保存

$\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kx^2 = E$

より速度に対する微分方程式（ $x$ に関する１階の微分方程式）を求め，単振動の一般解を導出せよ。

【解答】
$\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kx^2 = E$
$\therefore v = \frac{dx}{dt} = \pm\sqrt{\frac{2E - kx^2}{m}}$

$dt &gt; 0$ としてよく，このとき $v$ の符号は $dx$ の符号に一致する。

$k/m = \omega^2, 2E/m = a\omega^2 ( a > 0, \omega > 0)$ とおくと，

$\frac{dx}{dt} = \pm\omega\sqrt{ a^2 - x^2 }$

これが求める微分方程式である。

$\frac{dx}{\sqrt{ a^2 - x^2 }} = \pm\omega dt$

$x = a \sin\theta$ とおくと， $dx = a \cos\theta d\theta$

上に代入すると，

$d\theta = \omega dt$

（※複号は分母の根号をはずしたとき $\cos\theta$ に吸収される）

$\therefore \theta = \omega t + \phi$

すなわち，

$x = a \sin(\omega t + \phi )$

を得る。

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最終更新：2011年07月20日 22:57

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