偏心軸で斜面をすべる円板

鉛直に立てた２枚の三角板にはさまれた円板が，偏心軸で三角板の斜辺にぶらさがってすべる運動について。T大学工学部の院試の過去問だが，Algodooシミュレーションによってその「不備」が浮かび上がった。Yahoo!知恵袋より。

図のように，２枚の合同な三角平板が重ねて鉛直に固定され，そのすきまにはさまれた質量 $m$ ，半径 $a$ の円板が，中心から $h$ だけ離れた太さと質量が無視できる垂直軸によって，傾角 $\theta$ の三角板の斜辺にぶらさがって摩擦なくすべりおりる。

軸とともに運動する座標系 $(x^\prime,y^\prime)$ において円板が静止するような特別な条件ですべっている場合，

(1) 軸が斜面から受ける抗力の大きさを $R$ として，慣性系 $(x,y)$ において円板の重心Oの $x$ 方向， $y$ 方向の運動方程式を立てよ。

(2) 軸が受ける抗力の大きさ $R$ を求めよ。

次に軸まわりの円板の微小振動を考える。

(3) 振動の周期 $T$ を求めよ。ただし，軸の加速度の変化は無視し，軸まわりの円板の慣性モーメントを $I$ とせよ。

【解答】

(1)

$m\ddot{x} = -R\sin\theta$

$m\ddot{y} = R\cos\theta - mg$

(2)

束縛条件

$\frac{\ddot{y}}{\ddot{x}} = \tan\theta$

に(1)の結果を用いて，

$\frac{R\cos\theta - mg}{-R\sin\theta} = \tan\theta$

$\therefore R = mg\cos\theta$

座標系 $(x^\prime,y^\prime)$ から見ると，慣性力を含む力のつり合いおよび力のモーメントのつり合いにより，円板の加速度は $g\sin\theta$ であり，AOは斜面に垂直であることがわかる。

(3)

座標系 $(x^\prime,y^\prime)$ における慣性力を含む「みかけの重力加速度」は，斜面に垂直に $g\cos\theta$ である。

円板の重心と軸を結ぶAOの，座標系 $(x^\prime,y^\prime)$ における上記の「静止位置」からの微小角変位を $\phi$ とすると，軸まわりの回転の運動方程式は，

$I\ddot{\phi} = -mg\cos\theta\times h \phi$

となり，微小振動の周期

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgh\cos\theta}$

を得る。

$I = \frac{1}{2}ma^2 + mh^2$

を用いると，

$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^2 + 2h^2}{2gh\cos\theta}}$

となる。

と，ここまで解いてAlogodooでシミュレートしてみた。すると，どうしても周期が合わない。たいていシミュレーション結果が合わない場合は，計算ミスであることが多いが，精査してもミスはみつからない。そのうち，シミュレーションによる周期は

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_0}{mgh\cos\theta}$

であることに気づいた。ここに，

$I_0 = \frac{1}{2}ma^2$

は，円板の重心まわりの慣性モーメントである。

そして，問題の展開をよくよく追跡してみると，このくいちがいは問題そのものの「不備」によって生じたものであることがわかった。実際は，軸の加速度は変化しなければならず，加速度が変化しないのは重心Oの（斜面方向成分の）方である。したがって，回転の運動方程式は重心まわりに立てなければならず，用いるべき慣性モーメントは $I_0$ となるのである。

軸の加速度を変化しないものとする「近似」をとるのであれば，軸の質量は無視するのではなく，円板より十分大きいとすべきであった。そうすれば，斜面をすべる実験室内の振子でも論じたように，斜面を等加速度ですべる実験室内に「固定」された軸まわりの微小振動を考えることができ，その場合には軸まわりの慣性モーメント $I$ が使えることになる。Algodooによるシミュレーションでも，軸の質量を十分大きくとってやると，周期は(3)の結果に一致を見たのである。

軸の質量を無視したことと，(3)において軸の加速度の変化を無視できるとしたことは，互いに矛盾する「簡略化」であり，無茶な題意に踏み込んでいると言わざるを得ない。

あらためて運動方程式を立ててみる。斜面下方を $x$ 方向，斜面に垂直上方を $y$ 方向とする。重心の運動方程式は，

$m\ddot{x} = mg\sin\theta$