球面三角形と球面過剰

Yahoo!知恵袋のQ&Aより。球面三角形の面積は，球面過剰に半径二乗をかけたものになる。

【問題】

三角錐の頂点から底辺を見込む立体角を求めよ。ただし隣り合う側面どうしのなす角を $A,B,C$ とする。

【解答】

結果的にこの問題は，半径1の球面上の球面三角形の内角が $A,B,C$ であるときに，その面積を求めよ，というものに等しい。球面三角形の面積は，球面過剰（球面三角形の内角の和の平面三角形の内角の和 = $\pi$ に対する過剰分）に半径二乗を乗じたものに等しいから，求める立体角は

$\Omega = A + B + C - \pi$

となる。

さて，球面三角形の面積が球面過剰×半径二乗に等しいことを示そう。以下，
http://www.irf.se/~futaana/Kiruna/50_Kyumen.html
からの受け売りである。

２つの大円AB，ACによって切り取られる球面三角形ABCを含む葉っぱの形をした部分の面積は，球の半径を $R$ とすると

$S + S_a = 4\pi R^2\times\frac{A}{2\pi} = 2AR^2$

同様にして，BA，BCおよびCA，CBによって切り取られる面積について

$S + S_b = 2BR^2\quad,\quad S + S_c = 2CR^2$

を得る。ここで明らかに，

$S + S_a + S_b + S_c = 2\pi R^2$

であるから，

$S = (A + B + C - \pi)R^2$

を得る。

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最終更新：2012年02月06日 11:32

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