質点がついた軽い円盤の微小振動

【問題】

質量が無視できる半径 $R$ の円盤上，中心から距離 $r$ のところに質量 $M$ の質点が固定されている。鉛直面上で円盤が質点を下にしてすべることなく転がって微小振動するとき，その周期を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

質点が最下点にあるつり合い位置からの角変位が $\theta$ のとき，円盤の瞬間回転中心は接地点となるから，質点の瞬間回転半径 $\rho$ は余弦定理を用いて

$\rho^2 = R^2 - 2Rr\cos\theta + r^2$

である。これを用いて，質点の速さは

$v = \rho|\dot\theta|$

で与えられるから，系のエネルギーは

$E = \frac{1}{2}M\left(R^2 - 2Rr\cos\theta + r^2\right){\dot\theta}^2 - Mgr\cos\theta$

となる。ここで，微小振動の近似をとって

$\cos\theta = 1 - \frac{1}{2}\theta^2$

とし，定数を省けば

$E = \frac{1}{2}M\left(R-r\right)^2{\dot\theta}^2 + \frac{1}{2}Mr\theta^2\left(g + R{\dot\theta}^2\right)$

ここで，

$R{\dot\theta}^2 \ll g$

を仮定してその影響を無視すると，

$E = \frac{1}{2}M\left(R-r\right)^2{\dot\theta}^2 + \frac{1}{2}Mgr\theta^2$

これを単振動のエネルギー

$E = \frac{1}{2}\mu{\dot{x}}^2 + \frac{1}{2}\kappa x^2$

とみれば，角振動数

$\omega = \sqrt\frac{\kappa}{\mu} = \frac{\sqrt{gr}}{R-r}$

を得，周期は

$T = \frac{2\pi(R-r)}{\sqrt{gr}}$

となる。

先に仮定した

$R{\dot\theta}^2 \ll g$

について証明しておく。角変位の振幅を $\theta_0$ とおくと，角速度の最大値 ${\dot\theta}_{\rm max}$ に対して，近似したエネルギー保存から

${\dot\theta_{\rm max}}^2 = \frac{gr{\theta_0}^2}{(R-r)^2}$

を得る。 $g$ との比をとって， $\alpha=r/R$ を用いると

$\frac{R{\dot\theta_{\rm max}}^2}{g} = \frac{\alpha {\theta_0}^2}{(1-\alpha)^2}$

となり， $r$ と $R$ の比 $\alpha$ として極端な値をとらなければ，この比は $\theta^2$ のオーダーであることになる。これで， $\alpha$ の限定をつけた上ではあるが，近似に矛盾はないことが示された。

常識的な設定でのシミュレーションと数値計算によって近似の正当性を確認してみた。Algodooシミュレーションは，適当な $\alpha$ においてほどよく近似の理論値に一致した。設定は $R=12{\rm m},r=4.0{\rm m}$ ，近似の理論値は $8.0{\rm sec.}$ である。円盤の質量をゼロにはできないので，密度設定をスライドバーの最小値としている。