バンジー問題（くさり効果）の解析

「どっちがはやい？」でくさりにつながれたおもりの落下を『Phun』でシミュレートしたが，くさりは解析しきれないので連結した２本の剛体棒につながれたおもりの場合について，運動方程式を立てて数値解析を試みた。

棒の質量を $m$ ，長さを $l$ ，おもりの質量を $M=\alpha m$ とする。
上下の棒の鉛直下方からの角変位をそれぞれ $\theta,\phi$ とおいてラグランジアンを求めると，

$L=T-U$
$=\frac{1}{2}m\left(\frac{l}{2}\dot{\theta}\right)^2+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}ml^2\dot{\theta}^2+\frac{1}{2}ml^2\left\{\dot{\theta}^2+\frac{1}{4}\dot{\phi}^2+\dot{\theta}\dot{\phi}\cos(\theta-\phi)\right\}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}ml^2\dot{\phi}^2$
$+\frac{1}{2}Ml^2\left\{\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2+2\dot{\theta}\dot{\phi}\cos(\theta-\phi)\right\}+\frac{1}{2}mgl\cos\theta+mgl\left(\cos\theta+\frac{1}{2}\cos\phi\right)+Mgl(\cos\theta+\cos\phi)$
$=\frac{ml^2}{6}\{(4+3\alpha)\dot{\theta}^2+(1+3\alpha)\dot{\phi}^2+3(1+2\alpha)\dot{\theta}\dot{\phi}\cos(\theta-\phi)\}+\frac{mgl}{2}\{(3+2\alpha)\cos\theta+(1+2\alpha)\cos\phi\}$