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NO.9-1　数学的帰納法 ～難易度☆☆★★★

1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/01/19(月) 23:40:16.88 ID:EuGZjW4M0
   x1、x2、x3…は実数でそれらの絶対値は1より小であるとする
   （x1x2x3x4…xn)＋n－1＞x1＋x2＋x3＋…xn　(n≧2)
   であることを証明してみなさい 

解答

...

なんとなく帰納法で攻めたくなります。

n=2の時

x1*x2+1＞x1+x2

(1-x1)(1-x2)＞0でこれは絶対値が1より小の仮定より成立。

n=k以下での成立を仮定する。

（x1x2x3x4…x(k+1))＋k＞x1＋x2＋x3＋…x(k+1) ⇔ x(K+1)((x1x2x3…xk)-1)＞x1+…xk-k

仮定より(x1x2x3…xk)-1＞x1+…xk-kなので ⇔ x(K+1)((x1x2x3…xk)-1)＞x(k+1)(x1+…xk-k)＞x1+…xK-kが示されればよい。

x(k+1)(x1+…xk-k)＞x1+…xk-k

⇔0＞(1-x(k+1))(x1+…xk-k)

⇔( (1-x1)+(1-x2)+…+(1-xk))(1-x(k+1))＞0

任意のnについて1＞xnより上の不等式は示される。

∴n=k+1について示される。

よって数学的帰納法より示された。

解説

なんかうまくいきすぎで逆にあってるか不安な感じ。

NO.9-2　数学的帰納法で一般項を確証 ～難易度☆☆☆★★

問題

166 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2009/02/19(木) 22:53:44.15 ID:rNy6Dw/oO
   a_1=2,a_(n+1)=a_n/(1+a_n) (n=1,2,3,…………) 上式の条件によって定められる数列{a_n}の一般項を求めよ 

解答

...

a_n=2/(2n-1)

解説

とりあえず最初のほうの項は

a_2=2/3,a_3=2/5,a_4=2/7となるのでここから

a_n=2/(2n-1)を予想できるはずです。

これを帰納法で示す。

a_1については成立。

a_kの成立を仮定して

a_(k+1)=(2/(2n-1))/(　(2n+1)/(2n-1))=2/(2n+1)=2/(2(n+1)-1)

よりa_(k+1)についても成立する。

よって、数学的帰納法より示された。