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13 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/26(日) 11:24:59.63 ID:Boluhyw10
>>12正解。
一応用意した解答を載せておく
k+1Cn+1-kCn+1=kCnとなることを利用する。
これより、Σ(k=n,t)(kCn)=k+1Cn+1となる。
また、Σ(K=0,n)nCk=Ｓnとすると以下の図のように表すことができる。
0C0 1C0 2C0 3C0 4C0 …… nC0 =n+1C1
1C1 2C1 3C1 4C1 …… nC1 =n+1C2
2C2 3C2 4C3 …… nC2 =n+1C3
・ =n+1C4
・ =
・ =
↓ ↓ ↓
S0+S1+S2＋・・・・・・・・・・・・・+Sn=Sn+1-1・・・①
同様にして
S0+S1+S2+・・・・・・・・・・・・・・+Sn-1=Sn-1・・・②
①-②して、Sn=Sn+1-Sn,
S0=1,Sn+1=2Snより、Snは公比2,初項1の等比数列。よってSn=2^n
別解
12 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/10/26(日) 11:12:58.35 ID:HwHqwnqd0
ｎ個の要素をＡとＢ２つのグループに分けることを考える
その分け方は、要素それぞれに対してＡとＢの２通りのグループがあるので２＾ｎ乗通り
次に、Ａにｋ個、Ｂにｎーｋ個となるように分ける場合を考える。
この場合、その分け方はｎ個からＡに属するｋ個を選ぶのでｎＣｋ通り
これをｋ＝０～ｎの場合について逐一計算し、それらを足せばＡとＢへの分け方が得られる
以上より、Σ（ｋ＝０，ｎ）ｎＣｋ＝２＾ｎ
解説
他にも、いろいろな解き方がありそうで面白そうだったので載せておきました。
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