12240002

NO.2-1　等比数列 ～難易度☆★★★★

問題

 44:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:15:35.70 ID:zPq0YMmyO
  >>40 じゃ次の問題 2,3,5が同じ等比数列の項となりうるか

解答

...

ならない

解説

An=ar^n=2,Am=ar^m=3,Al=ar^l=5とする。（n,m,lはn<m<lの自然数で右辺rは有理数である。）

aを消して、3r^n=2r^m,5r^n=2r^l,5r^m=3r^lから

5/3=r^(l-m),5/2=r^(l-n),3/2=r^(m-n)

r=k/s（k,sは互いに素の自然数）とおく。

上に代入して①5s^(l-m)=3k^(l-m)②5s^(l-n)=2k^(l-n)③3s^(m-n)=2k^(m-n)

①からkは5の倍数でsは3の倍数。

②からkは5の倍数でsは2の倍数。

③からkは2の倍数でsは3の倍数。

これらより、kは10の倍数でsは6の倍数となる必要があるがこれはkとsが互いに素である条件に反する。

NO.2-2　等差数列 ～難易度☆★★★★

問題

 164 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 22:21:37.62 ID:IocQWGsN0
   3つの実数2^1/3、2^1/2、2は、同一の等差数列の3つの項にはならないことを示せ。

解答

...

等差数列の一般項はA_n=α+(n-1)d

ここで、2^(1/3)=α+kd,2^(1/2)=α+sd,2=α+tdとおける(s,t,kは自然数)

(s-k)d=2^(1/2)-2^(1/3)

(k-t)d=2^(1/3)-2

(t-s)d=2-2^(1/2)

でs-k=a,k-t=b,t-s=cとおくと(2^(1/2)≠2^(1/3)≠2よりa,b,c≠0)

d=(2^(1/2)-2^(1/3))/a=(2^(1/3)-2)/b=(2-2^(1/2))/cをともに満たす整数a,b,cが存在しないことを示せばよいことになる。

これは案外簡単で

b(2^(1/2)-2^(1/3))=a(2^(1/3)-2) a,bは自然数なので有理数より

(a+b)*2^(1/3)-b*2^(1/2)-2a=0

これを満たすものはa=b=0しかないがa≠0,b≠0より満たさない。

これより存在することができないことが示された。

解説

解答の通りです。

入試問題とかでは、あまりみないタイプの問題で個人的には好きな問題です。