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単振動

単振動 (simple harmonic motion) とは、質点が直線状を運動しているとき、その変位xがtを時間、A、\omega、\thetaを定数として 

x=A\cos(\omega t+\theta)

で表されるような振動。一次元調和振動とも呼ばれる。

導出


原点Oからlの自然長をもつバネを考える。バネ定数をkとし、右方向をx軸正方向とする。
このとき物体には、F = - kx の力が働く。ここで、運動方程式 F = m\ddot x より 

\ddot x = - \omega^2 x     (\omega \equiv \frac{k}{m})

となる。これを満たす一つの解が 

x=A\cos(\omega t+\theta)

であるが、他にも 

x=B_p\cos \omega t + B_q\sin \omega t


x=\mathbf{C}e^{j\omega t} + \mathbf{C}^*e^{-j\omega t}


x=Re[\mathbf{D}e^{j\omega t}]

などといった解の表示法が存在し、それぞれのパラメータは以下の式で相互変換が可能である。

  • B_p = A\cos\theta

  • B_q = -A\sin\theta

  • \mathbf{D} = 2\mathbf{C} = Ae^{j\theta}


なお、以上の式は、オイラーの公式を用いて容易に導出できる。

参考文献

  • 楽器の物理学 (N.H.フレッチャー/T.D.ロッシング)
  • Vibrations and Waves in Physics (lain G.Main)

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最終更新：2009年01月21日 06:34
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