重畳（たたみ込み）積分

畳み込みとは、関数f,gに対して次式のように定義される。

積分範囲は、 $(-\infty, \infty)$ とする場合もあるが、畳み込みをする関数が有限長である場合、

といわれる。

畳み込みの性質

積分演算に由来する性質として、交換律、結合律、分配律、スカラー倍、などが成り立つ。詳しくはWikipedia:畳み込みを参照するとよい。

重要な性質として、畳み込み定理という次式の法則は、音響学上重要である。

つまり畳み込みは、フーリエ変換、ラプラス変換、z変換では積に変換される。

$\mathcal{F} [f*g] = \int \int f(\tau)g(t-\tau) e^{-j\omega t}d\tau dt$

$= \int \int f(\tau)g(t)e^{j\omega (-\tau)} e^{-j\omega t}d\tau dt$

$= \int \int f(\tau)g(t)e^{- j\omega\tau} e^{-j\omega t}d\tau dt$

$= \mathcal{F} [f] \cdot \mathcal{F} [g]$

フーリエ変換の畳み込み定理を証明したが、ラプラス変換、z変換でも同様に証明される。

音響学の分野においては、ある線形時不変システムの出力 $y(t)$ を、インパルス応答 $h(t)$ と入力 $x(t)$ の畳み込みによって求めることは特記すべきである。この場合特に、畳み込み定理を適用することによって積の演算に変換されるので、

に変換し、

として求める形式が多く用いられる。

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最終更新：2009年01月22日 00:07

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