標本化と量子化

標本化（sampling）とは、ある連続信号を時間軸上の離散点ごとに抽出し、数列として並べ直すことで、量子化（quantization)とは、データのもつ量を整数化、もしくは量子の整数倍にすることをいう。

また、アナログ信号をディジタル信号に変換することをA/D変換といい、逆にディジタル信号をアナログ信号に戻すことをD/A変換という。

標本化定理

標本化元となるを信号（原信号）、標本化関数をとする。ただし標本化関数とは、離散値に対してのみ1を返し、その他のに対して0を返す関数をいい、一般に

が用いられる。さらに、標本化によって得られる信号、すなわち

を考える。このとき、標本化周波数（サンプリングレート）が

であったとき、

＜ を満たす周波数Sについて、 の周波数スペクトルは のそれと一致する

ということを保証した定理を、標本化定理という。つまり、原信号のもつ最大周波数に対して

  ＞  

の条件が満たされるとき、原信号の復元を保証する定理である。この条件を、ナイキスト条件という。

これに基づいて、例えば電話は 、CDでは に設定されている。

A/D変換

A/D変換とは前述した標本化関数によって原信号を離散化し、その出力信号を量子化することが主な機能となる。その際、ディジタルデータはビットと呼ばれる2進数データで表されることが多い。

D/A変換

標本化定理によると、サンプリングされた信号は、

　<　S　<　　　　　------★

を満たす周波数Sにおいて、原信号と同じ周波数スペクトルをもっている。すなわち、のフーリエ変換を、のフーリエ変換をとし、★をバンド幅にもつ矩形窓をとすると、

が成り立つ。従って畳み込み定理より、

が導かれる。ただし、窓関数が矩形窓であるので、はそれを逆フーリエ変換したsinc関数となる。このを特に補完公式ということがある。

この原信号復元の処理を行うのがD/A変換である。ただしsinc関数は収束が遅いため、復元の方法には様々な方法がとられている。

量子化誤差

ディジタル回路においては、データを表現できるビットの数は有限であるため、量子化を行ったデータでは最小桁において丸め誤差が発生する。
したがって、用途に応じてできるだけ高いビットレート（量子化レート）に設定する必要がある。

参考文献

• ディジタル信号処理 (森北出版)
• 音響用語辞典 (コロナ社)
• 標本化定理 - Wikipedia