５ ５ ５ - プログラム倉庫

代表的個人は、(2)式の制約を満たした上で、(1)式を最大化するように行動する。

\begin{equation}
\max \sum \beta^{t} u(c_t)
\end{equation}

\begin{equation}
a_{t+1}=(1+r_{t+1})*(a_t+w_t*l_t-c_t)
\end{equation}

ちなみに、$\beta$は主観的割引率、$c_t$は消費、$u$は効用関数、
$a_{t}$は個人資産、$r_t$は利子率、$w_t$は賃金、$l_t$は労働供給である。
労働供給は一定と仮定する。

\begin{equation}
l_t=1
\end{equation}

効用関数は対数と仮定する。

\begin{equation}
u(c_t)=\log(c_t)
\end{equation}

生産関数はコブ＝ダグラス型関数と仮定する。

\begin{equation}
f(k_t,l_t)=k_{t}^{a}*l_{t}^{1-a}
\end{equation}

利子率は、資本の限界生産性と仮定する。

\begin{equation}
r_t=a*k_{t}^{a-1}
\end{equation}

\section{基本的方程式}

上記の式を解くと、以下の式が導ける。

\begin{equation}
c_t=\frac{c_{t+1}}{\beta*(1+r_{t+1})}
\end{equation}

\begin{equation}
r_{t+1}=a*k_{t+1}^{a-1}
\end{equation}

\begin{equation}
k_{t+1}=k_t+k_{t}^{a}-c_t
\end{equation}

\section{再帰的手法}

消費の政策関数$cx(k_t)$と下記の式から導かれる消費関数$cp(k_t)$が一致する必要がある。

\begin{equation}
k_{t+1}=k_t+k_{t}^{a}-cx(k_t)
\end{equation}

\begin{equation}
r_{t+1}=a*k_{t+1}^{a-1}
\end{equation}

\begin{equation}
cp(k_t)=\frac{cx(k_{t+1})}{\beta*(1+r_{t+1})}
\end{equation}

\end{document}