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a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0

なる形の漸化式の一般的解法




p = - \alpha - \beta , \ q = \alpha\beta
なるα,βで
\left \{ \begin{array}{l} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} - \beta a_n) \end{array}
と二通り（α≠βのとき）に変形可能
このようなα,βは特性方程式
t^2 + pt + q = 0
の解



（１）α≠βのとき

a_{n+1} - \alpha a_n = \beta^n (a_1 - \alpha a_0)
a_{n+1} - \beta a_n = \alpha^n (a_1 - \beta a_0)
より
a_n = \frac{a_1 - \beta a_0}{\alpha - \beta} \alpha^n - \frac{a_1 - \alpha a_0}{\alpha - \beta} \beta^n
と求めることが出来る
すなわち
\exists c_1, c_2 \in \mathbb{R} \ s.t. \ a_n = c_1 \alpha^n + c_2 \beta^n



（２）α＝βのとき

a_{n+1} - \alpha a_n = \alpha^n (a_1 - \alpha a_0)
の両辺をα^{n+1}で割って
\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} - \frac{a_n}{\alpha^n} = \frac{a_1}{\alpha} - a_0
よって
\frac{a_n}{\alpha^n} = \left(\frac{a_n}{\alpha^n} - \frac{a_{n-1}}{\alpha^{n-1}}\right)+\left(\frac{a_{n-1}}{\alpha^{n-1}} - \frac{a_{n-2}}{\alpha^{n-2}}\right)+...+\left(\frac{a_1}{\alpha} - a_0\right)+a_0
= n \left(\frac{a_1}{\alpha} - a_0\right)+a_0
より
a_n = \left(\frac{a_1}{\alpha} - a_0\right) n \alpha^n + a_0 \alpha^n
すなわち
\exists c_1, c_2 \in \mathbb{R} \ s.t. \ a_n = c_1 n \alpha^n + c_2 \alpha^n




例、フィボナッチ数列
a_{n+2} = a_{n+1} + a_n
特性方程式の解は
t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
より
a_n = c_1 \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n + c_2 \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n
ゆえに
a_0=0,a_1=1 \Rightarrow a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}

タグ：

組合せ論 初等数学（高校数学）
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最終更新：2012年07月26日 17:45