代数の定義等 - 知識メモ

空でない集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群(group)であるとは、
１、（結合法則）任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g, h), k) を満たす。
２、（単位元の存在）μ(g, e) = μ(e, g) = g を G のどんな元 g に対しても満たすような元 e が G のなかに存在する（存在すれば一意である）。これを G の単位元という。
３、（逆元の存在）G のどんな元 g に対しても、μ(g, x) = μ(x, g) = e となるような G の元 x が存在する（存在すれば一意である）。これを g の G における逆元といい、しばしば g^{−1} で表される。
群よりも広い概念として、1 を満たすものは半群、1 と 2 を満たすものはモノイドという。

群 (G, μ) が
（交換法則）任意の元 g, h に対して μ(g, h) = μ(h, g)
を満たすとき、この群のことをアーベル群（可換群）という。アーベル群の演算は "+" を用いて加法的に書くのが慣例である。この際、g の逆元はしばしば −g と書かれる。
なお、二項演算を写像として強調したい場合を除けば、通常　μ(g, h) のことを g × h や単に gh と書くことが多い。またこの演算を「積」や「乗法」と呼ぶことが多いが、加法と呼ばれている二項演算をもとにしてできる群もあるので、注意する必要がある。

環(ring)とは、集合 R とその上の二つの二項演算、加法 +: R × R → R および乗法 ∗: R × R → R の組 (R,+,∗) で、「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う（環の公理系にはいくつか異なる流儀がある）。

加法群

• (R,+) はアーベル群（可換群）である

（１、加法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a + b ∈ R が成り立つ。）
２、加法の結合性： 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b) + c = a + (b + c) が成り立つ。
３、加法単位元（零元）の存在：如何なる a ∈ に対しても共通して 0 + a = a + 0 = a を満たす 0 ∈ R が存在する。
４、加法逆元（反元、マイナス元）の存在： 各 a ∈ R ごとに a + b = b + a = 0 を満たす b ∈ R が存在する。
５、加法の可換性： 任意の a, b ∈ R に対して a + b = b + a が成立する。

乗法半群

• (R,∗) はモノイド（あるいは半群）である

（１、乗法に関して閉じている： 任意の a, b ∈ R に対して a ∗ b ∈ R が成り立つ。）
２、乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a ∗ b)∗ c = a ∗(b ∗ c) が成立する。
（３、乗法に関する単位元を持つ。）

分配律

• 乗法は加法の上に分配的である

１、左分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して a ∗(b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) が成り立つ。
２、右分配律: 任意の a, b, c ∈ R に対して (a + b)∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c) が成り立つ。

が成り立つものをいう。乗法演算の記号 ∗ は普通省略されて、a ∗ b は、ab と書かれる。
よく知られた整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q, 実数全体の成す集合 R あるいは複素数全体の成す集合は通常の加法と乗法に関してそれぞれ環を成す。また別な例として、同じサイズの正方行列全体の成す集合も行列の和と乗法に関して環を成す（この場合の環としての零元は零行列、単位元は単位行列で与えられる）。

（必ずしも可換でない）体(field)とは、以下の条件を満たす加法と乗法と呼ばれる 2 つの二項演算によって定まる代数的構造のことである。以下、台集合 K に加法 "+" と乗法 "×" が定められているとし、乗法の結果（積） a × b は ab と略記する。

K は加法に関してアーベル群である

１、a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a + (b + c) = (a + b) + c が成り立つ。
２、a + 0_K = 0_K + a = a が K の元 a の取り方に依らずに満たされる零元と呼ばれる特別な元 0_K が存在する。
３、a が K の元ならばそれに対して a + (−a) = (−a) + a = 0_K を満たす、マイナス元と呼ばれる元 −a が常に存在する。
４、交換法則が成り立つ。つまり K のどんな元 a, b についても、 a + b = b + a となる。

K は乗法に関してモノイドであって、0 以外の元が群をなす

１、a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a(bc) = (ab)c が成り立つ。
２、a1_K = 1_Ka = a が K の零元 0_K でない元 a の取り方に依らずに満たされる単位元と呼ばれる特別な元 1_K が存在する。
３、a が零元 0_K でない K の元ならばそれに対して aa^{−1} = a^{−1}a = 1_K を満たす、逆元と呼ばれる元 a^{−1} が常に存在する。

乗法は加法に対して分配的である

１、a, b, c を K の任意の元とするとき、a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc が成り立つ。

また、この条件を満たす代数的構造を備えた代数系 (K, +, 0_K, ×, 1_K) あるいは省略して単に集合 K は「体を成す」という。零元のみからなる集合 {0} は 1 = 0 と見れば上記の条件を満たし、自明な体と呼ばれるが往々理論的な障害となるため通常は除外して考える。つまり、体の定義に通常は

1 ≠ 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。

なる条件を加える。さらにもう一つ、乗法の可換性に関する条件

K のどんな元 a, b についても、 ab = ba が満たされる。

を加えるとき K を可換体と呼び、可換性が満たされない元を K が持つとき非可換体と呼ぶ。また一つの代数系 K に対してではなく、代数的構造の分類としてもこれらの用語を用いる。分類としての明確化のために、可換体・非可換体の両者をあわせて「必ずしも可換でない体」という用語を用いることがある。本項では便宜上「必ずしも可換でない体」を単に「体」と呼称する。一方、「体論」「体の理論」などと呼ぶときの「体」は多くは可換体を意味すると思って差し支えない。

単に「体」とよぶとき、その意味するものにはいくつかの流儀が存在する。たとえば、可換である体を単に「体」 (field) と呼び、非可換なものを含めてよぶときは多元体あるいは可除環（かじょかん、division ring, division algebra）あるいは斜体（しゃたい、skew field）と呼ぶのはイギリス流（英語圏）である。一方（ヨーロッパ）大陸流（ドイツ、フランス語圏）では、必ずしも可換でない体を単に「体」 (Körper, corps) とよび、可換であるときを特に可換体 (kommutativ Körper, corps commutatif) とよぶ。ただし、歴史的経緯はどうあれ時代が下るにつれ英語圏の流儀に合わせる傾向は見られる。
またいずれの流儀においても、文脈に応じて「可換」「必ずしも可換とは限らない」「非可換」などを冠することで明示的にこれらの概念を区別することがある。これらの区分のうち「非可換」なものの指すべき範疇は文脈にまったく依存するものであることには留意が必要である。たとえば「斜体」と呼ぶとき、それが可換体を含むのか含まないのかは文脈を踏まえなければ定かではないし、「非可換体」が可換体を含む意味で用いられることもある。