知識メモ
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２重数列
a_{mn} \geq 0
に対して
\sum^{\infty}_{m=1} \liminf_{n \to \infty} a_{mn} \leq \liminf_{n \to \infty} \sum^{\infty}_{m=1} a_{mn}



（証明）
定義より
\liminf_{n \to \infty} a_{mn} = \lim_{n \to \infty} \left(\inf_{k \geq n} a_{mk}\right)
なので
b_{mn} := \inf_{k \geq n} a_{mk}
とおくとb_mnはnに関して増加列

このとき
\lim_{n \to \infty} \sum^{\infty}_{m=1} b_{mn} = \sum^{\infty}_{m=1} \lim_{n \to \infty} b_{mn} \ \ \ \ (*)
となることを示す


（１）
\exists m \in \mathbb{N} \ s.t. \ b_{mn} \to \infty (n \to \infty)
のとき、
b_{mn} \leq \sum^{\infty}_{m=1} b_{mn} \to \infty \ \ (for \ b_{mn} \to \infty)
\lim_{n \to \infty} b_{mn} \leq \sum^{\infty}_{m=1} \lim_{n \to \infty} b_{mn} = \infty \ \ (for \ b_{mn} \to \infty)
より（＊）は成立

（２）
\forall m \in \mathbb{N}, \ b_{mn} \to c_m < \infty \ (n \to \infty)
のとき、まず≦は
\sum^{\infty}_{m=1} b_{mn} \leq \sum^{\infty}_{m=1} c_m = \sum^{\infty}_{m=1} \lim_{n \to \infty} b_{mn}
よりすぐにわかる
よって≧を示す

（ア）
\sum^{\infty}_{m=1} b_{mn} = \infty
ならば成立する

（イ）
\sum^{\infty}_{m=1} b_{mn} = d_n < \infty
で、d_n→∞（n→∞）ならば≧が成立するので、d_n→α＜∞とする．このとき、各mに対し
\forall \epsilon_m < 0, \ \exists N \in \mathbb{N} \ s.t. \ \forall l > N, \ c_m - b_{ml} < \epsilon_m
（ただしこのとき選ぶNはすべてのmに対して一番大きくとったものを選ぶ）
よって
\sum^{\infty}_{m=1} c_m - d_l < \sum^{\infty}_{m=1} \epsilon_m
このとき
\epsilon_m = \frac{\epsilon^{'}}{2^m}
としてよく、これで
\sum^{\infty}_{m=1} c_m - d_l < \epsilon^{'} \ \ \ \left(d_l \to \sum^{\infty}_{m=1} c_m\right)
が示される．よって（＊）が成立する


以上より（＊）がどんな場合でも成立するので、
\sum^{\infty}_{m=1} \liminf_{n \to \infty} a_{mn}
= \sum^{\infty}_{m=1} \lim_{n \to \infty} b_{mn}
= \lim_{n \to \infty} \sum^{\infty}_{m=1} b_{mn}
= \liminf_{n \to \infty} \sum^{\infty}_{m=1} b_{mn}
\leq \liminf_{n \to \infty} \sum^{\infty}_{m=1} a_{mn}



扱いにくいliminfを、別の単調な数列に置き換えることによって議論しやすくする

タグ：

解析学
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最終更新：2012年07月30日 23:26