主要な冪級数 - 知識メモ - atwiki（アットウィキ）

B_nはベルヌーイ数

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n \geq 0} x^n$

$log \frac{1}{1-x} = \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n}$

$(1+x)^\alpha = \sum_{k} \binom{\alpha}{k} x^k$

$\frac{1}{(1-x)^{k+1}} = \sum_{n} \binom{n+k}{n} x^n$

$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n \geq 0} \frac{B_n x^n}{n!}$

$\tan^{-1} x = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

$\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{k} \binom{2k}{k} x^k$

$\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x} = \sum_{n} \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} x^n$
（これはカタラン数の母関数）

$x \cot x = \frac{x}{\tan x} = \sum_{k \geq 0} \frac{(-4)^k B_{2k}}{(2k)!} x^{2k}$

$\tan x = \sum_{r \geq 1} (-1)^{r-1} \frac{2^{2r} (2^{2r} - 1) B_{2r}}{(2r)!} x^{2r-1}$

さらに詳しくはgeneratingfunctionologyのP52を参照

タグ：

解析学組合せ論

最終更新：2012年08月04日 04:35

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