有限体（ガロア体）について - 知識メモ

有限体の位数は必ず素数の冪になる。

（補題１）
有限体の標数は >0 である。

（証明）

とすると、F = F + 1 となる。
0≠1なので、F の任意の元 a は +1 の演算を施すことによって必ず他の元に写る。
もちろんこの演算（写像）は全単射である。
よって、任意の元は +1 を有限回（高々 n+1 回）施すことによって必ず元に戻る。
（b1→b2→...→bi→...→bm→bi等とならないことは全単射性より明らかなので）
したがって a + 1 + 1 + ... + 1 = a より 1 + 1 + ... + 1 = 0 となり、主張が正しいことがわかる。

（補題２）
体（整域）の標数は 0 または素数である。

（証明）
体 F の標数を n > 0 とし、n を素数でないとする。
n = pq とすると
0 = 1 + 1 + ... + 1　(n個)
= (1 + ... + 1)(1 + ... + 1)　(p個×q個)
となる。体は整域なので
(1 + ... + 1) = 0　(p個)　または　(1 + ... + 1) = 0　(q個)
となる。これは n の最小性に矛盾。

（補題３）
F の標数が p > 0 ならば F の素体は Z/(p) と同型である。

（証明）

とすればσは準同型になる。
F が標数 p のとき、σ(Z) は Z/(p) に同型になり、これは F の部分体である。
また、σ(Z) よりも位数の小さい部分体は存在しないので、σ(Z) が F の素体になっている。

（有限次拡大について）
体の列 F ⊂ K があったとき、K は自然に F 上のベクトル空間となる。
たとえば

は体であり、Q 上のベクトル空間としての F の基底の一つとして

がとれる。したがって、Q ⊂ F は有限次拡大で[F:Q] = 2 である。

（命題）
有限体の位数は必ず素数の冪になる。

（証明）
有限体 K の素体を π とする。
K の標数を p > 0 とおくと、π は Z/(p) と同型。
また、K は π 上のベクトル空間になるので、

とし、π 上のベクトル空間としての K の基底を

とおけば、K の元は

なる形に一意に表される。
よってこの数は p^m 個である。

例：GF(p^m)の代数拡大
多項式の世界で素数に当たるもの(より次数の低い多項式で割り切れないもの)を既約多項式(irreducible polynomial)という。
体 F 上の多項式 F[x]を既約多項式 f(x) = 0 で割ったあまりの集合を作ったり、
体 F の範囲では解けない代数方程式 f(x) = 0 の解を F に付加することによって位数が素数冪の有限体を構成できる。
（これらは同値である）
たとえば規約多項式

の条件のもとでは、

はGF(3^2)となり、体をなす。