勾配がその点の等高線の法線ベクトルになること - 知識メモ

簡単のため２変数で考える

勾配（gradient）は関数 f(x,y) のその点での接平面の「傾き」の概念
傾きの高次元版：

これはスカラー場の関数 f に対して定義されたベクトル場であり、各点のベクトルは f の値の大きいほうを向いている。

一方、f(x,y) = k なる等高線を考えた時、その線上の各点の接線の傾きは、
陰関数定理より（定理が適用できる条件は全てクリアされているとする）、

なので、接線ベクトルは

である。これと grad f との内積を取れば 0 になるので、grad f は接線に直交、すなわち法線ベクトルであることが分かる。
さらに、そのベクトルの向きは関数の増加方向である。