知識メモ
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一階線型常微分方程式
y' + p(x) y = q(x) \ \ \ ... \ (\ast)
を解く。

y' + p(x) y = 0
をまず考えると、変数分離で
\frac{dy}{y} = -p(x)dx
より
\log |y| = -\int p(x)dx + C
なので
y = A e^{-\int p(x)dx}
となる。
A を x の関数 A(x) とみなせば、(*)は
A'(x) e^{-\int p(x)dx} - p(x) A(x) e^{-\int p(x)dx} + p(x) A(x) e^{-\int p(x)dx} = q(x)
より
A'(x) = q(x) e^{\int p(x)dx}
A(x) = \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C

よって
y = \left\{ \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C \right\} e^{-\int p(x)dx}


定数係数二階線型常微分方程式（斉次）
\frac{d^2 y}{dx^2} + p \frac{dy}{dx} + qy = 0
を解く。

２階微分、１階微分、０回微分を足し合わせて０になる
→ y = ae^{bx} の形？

実際にこれを代入すると
a b^{2} e^{bx} + p a b e^{bx} + q a e^{bx} = 0
ae^{bx} (b^{2} + p b + q) = 0
となる。これが常に成り立つので、a = 0 または b^{2} + pb + q = 0 である。
このときの方程式 x^{2} + px + q = 0 を特性方程式という。

特性方程式の解をα、βとすると、この微分方程式の解は
y = Ae^{\alpha x} + Be^{\beta x}
で与えられる。
これはN階の微分方程式でも同様である。

特性方程式の解が
  • 異なる実数解なら
y = Ae^{\alpha x} + Be^{\beta x}

  • 重解なら
y = Ae^{\alpha x} + Bxe^{\alpha x}

  • 虚数解なら、実部を r、虚部をθとして
y = Ae^{r x} \cos{\theta x} + Be^{r x} \sin{\theta x}

で、微分方程式の解を得る。


定数係数二階線型常微分方程式（非斉次）
\frac{d^2 y}{dx^2} + p \frac{dy}{dx} + qy = r(x)
を解く。

y = y_1 + y_2
とし、y_1を特殊解、y_2を右辺＝0のときの解として考えればよい。

例：
\frac{d^2 y}{dx^2} -4 \frac{dy}{dx} + 4y = 4x^2 + 4x -2
を考える。まず特殊解y_1について考える。
yとy'とy''を足し合わせて 4x^2 + 4x - 2 になるので、
y_1 = ax^2 + bx + c なる形であると予想できる。
これを実際方程式に代入して係数比較すれば
a = 1, b = 3, c = 2
を得るので、y_1 = x^2 + 3x + 2
次に、y_2については
\frac{d^2 y}{dx^2} -4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0
を満たす解なので、特性方程式 t^2 - 4t + 4 = 0 より t = 2（重解） なので
y_2 = (px + q)e^{2x}
とかける（p,q は定数）。
以上より元の方程式の一般解は
y = y_1 + y_2 = x^2 + 3x + 2 + (px + q)e^{2x}

タグ：

解析学
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最終更新：2012年08月22日 23:38