コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト - 知識メモ

コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトであることの証明

X をコンパクト空間としAをその閉部分集合とする．
このときAの任意の開被覆を

とすると、
この U に A の X における補集合 A^c （A が閉集合であることからこれは開集合）を加えると、
X の開被覆が得られるので、X のコンパクト性から有限部分被覆がとれる．
この有限部分被覆に A^c が属していても、A との共通部分はないから、残りで A を覆える．よって A はコンパクト．