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「勾配」のさらに一般化がヤコビ行列。

F(x_1,x_2,...,x_n) = (y_1,y_2,...,y_m) = (y_1(x_1,...,x_n),...,y_m(x_1,...,x_n))
なる F:R^n→R^m のヤコビ行列は
\left[ \begin{array}{cccc} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial y_2}{\partial x_n} \\ ... & ... & ... & ... \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \frac{\partial y_m}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{array} \right]
で与えられ、dF と書き表す。


この行列の行列式（ヤコビアン）について、それを用いた積分の変数変換の「イメージ」を考える。
f(x)の積分でxをuに変換するとき、
\int^{b}_{a} f(x) dx = \int^{d}_{c} f(x(u)) \frac{dx}{du} du
となる。
これをxy平面上の領域Rからuv平面上のある領域R’への積分変数変換に拡張すると
\int \int_{R} f(x,y) dxdy = \int \int_{R'} f(x(u,v),y(u,v)) X dudv
という感じになりそう。
xy平面上の領域Rにおけるf(x,y)の面積（左辺）は、fをx = x(u, v)、y = y(u, v)を使ってuv平面上の領域R’へ移したときの面積（右辺）に等しいと言ってます。一つ目の式では、dx = (dx/du)duという変換をやっています。ここでの“dx/du”に相当する係数としてdxdy = XdudvなるXを決める必要があるでしょう。

ここで、xy平面上でのx = x(u, v)、y = y(u, v)それぞれの全微分を考えます。それを行列で表現すると、
\binom{dx}{dy} = \binom{\frac{\partial x}{\partial u} \ \ \frac{\partial x}{\partial v}}{\frac{\partial y}{\partial u} \ \ \frac{\partial y}{\partial v}} \binom{du}{dv}
この式を眺めていると、uv平面上の微小ベクトル(du, dv)は、このヤコビ行列 J によってxy平面上の微小ベクトル(dx, dy)に移されていることが分かります。
dxdy = Xdudvに話を戻します。uv平面上で単位ベクトル(1, 0)、(0, 1)を考えます。もちろん面積は１です。これらの単位ベクトルは行列表現の式によりxy平面上のベクトル
(\partial x / \partial u, \partial y / \partial u)、(\partial x / \partial v, \partial y / \partial v)
に移されます。この２つのベクトルによる面積は、
|(\partial x / \partial u)(\partial y / \partial v)-(\partial y / \partial u)(\partial x / \partial v)|
になります。これは、Jの行列式detJの絶対値に等しいです。
よって、uv平面上の微小面積dudvの|detJ|倍がxy平面上の微小面積dxdyになりそうだと想像できます。

したがって、dxdy = |detJ|dudvとなります。


タグ：

解析学
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最終更新：2012年08月23日 23:14