二項モデルによるBlack-Scholes価格の導出 - 知識メモ

まず
$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$
$d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$
$q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$
を仮定する（u, d は株価の上昇・下降率、q はリスク中立確率）。

N 期間二項モデルにおいて、満期 T における株価を確率変数として表現すれば
$S_T = S_0 Z_1 Z_2 ... Z_N$
ただし各 Z_i は i.i.d. で、
$Z_i = \left\{ \begin{array}{ll} u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}} & with \ prob \ q, \\ d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} & with \ prob \ 1-q, \end{array}$
とする。

対数をとれば
$\log{S_T} = \log{S_0} + \log{Z_1} + ... + \log{Z_N}$
である。
いま、
$\theta_k := \log{Z_k} , \ \ \ k = 1,...,N$
と定義すれば、これは増分 θ をもつ、log{S_0} を始点とするランダムウォークになる：
$\log{S_T} = \log{S_0} + \sum^{N}_{k=1} \theta_k$

いま、θ の分布は
$\theta_k = \left\{ \begin{array}{ll} \log{u} = \sigma \sqrt{\Delta t} & with \ prob \ q, \\ \log{d} = -\sigma \sqrt{\Delta t} & with \ prob \ 1-q, \end{array}$
で与えられている。
また、平均 λ は
$\lambda = \mathbb{E}_\mathbb{Q} [\theta] = q \log{u} + (1-q) \log{d} = (2q - 1) \sigma \sqrt{\Delta t}$
分散 ν^2 は
$\nu^2 = \mathbb{E}_\mathbb{Q} [\theta^2] - (\mathbb{E}_\mathbb{Q} \theta)^2 = q (\log{u})^2 + (1-q) (\log{d})^2 - \lambda^2 = \sigma^2 \Delta t - \lambda^2$
と計算される。

一方、u, d, e^{rΔt} をテイラー展開し、その中の Δt が一次より大きくなっている項を無視して（Δt↓0 とするので）、
それによって q を計算すれば
$q \approx \frac{1}{2} + \frac{r - \frac{1}{2} \sigma^2}{2 \sigma} \sqrt{\Delta t} \ \ \ as \ \Delta t \downarrow 0$
を得る。これを λ, ν^2 に代入すれば
$\lambda \approx (r - \frac{1}{2} \sigma^2) \Delta t$
$\nu^2 \approx \sigma^2 \Delta t - (r - \frac{1}{2} \sigma^2)^2 (\Delta t)^2 \approx \sigma^2 \Delta t$
なる近似が得られる。

次に、
$\phi_k := (r - \frac{1}{2} \sigma^2) \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} X_k$
を定義する。ただし
$\mathbb{Q}\{ X_k = 1 \} = \mathbb{Q}\{ X_k = -1 \} = \frac{1}{2}$
とする。このとき
$\mathbb{E}_{\mathbb{Q}} \phi_k =(r - \frac{1}{2} \sigma^2) \Delta t$
$var(\phi_k) = \sigma^2 \Delta t$
であるので、
$\theta_k \sim \phi_k , \ \ \ k = 1,...,N$
と近似してよい（中心極限定理より？？）。

よって、次のように書くことができる：
$\log{S_T}$
$= \log{S_0} + \sum^{N}_{k=1} \theta_k$
$= \log{S_0} + \sum^{N}_{k=1} \left( (r - \frac{1}{2} \sigma^2) \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} X_k \right)$
$= \log{S_0} + (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{\frac{T}{N}} \sum^{N}_{k=1} X_k$
これを適当に移項して整理すれば
$\frac{\log{S_T} - \log{S_0} - (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}} = \frac{\sum_{k=1}^{N} X_k}{\sqrt{N}}$
この両辺を N → ∞ とすれば、中心極限定理より
$\frac{\log{S_T} - \log{S_0} - (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}} \rightarrow Y \sim {\cal N}(0,1)$
これを S_T について解けば
$S_T = S_0 \exp \left\{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Y \right\}$
となり、これは対数正規分布（log-normal）である。なぜなら
$\log{S_T} \sim {\cal N}(\log{S_0} + (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T,\sigma^2 T)$
となるため。

これを用いてコールオプション価格を計算する。
$C_0$
$= e^{-rT} \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[(S_T - K)^{+}]$
$= e^{-rT} \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[\left(S_0 \exp \left\{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} Y \right\} - K\right)^{+}\right]$
$= e^{-rT} \int_{\mathbb{R}} \left(S_0 \exp \left\{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} y \right\} - K\right)^{+} \mathbb{Q} \{ Y \in dy \}$
$= e^{-rT} \int_{\tilde{y}}^{\infty} \left(S_0 \exp \left\{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} y \right\} - K\right) \mathbb{Q} \{ Y \in dy \}$
$= e^{-rT} \int_{\tilde{y}}^{\infty} S_0 \exp \left\{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} y \right\} \mathbb{Q} \{ Y \in dy \} - e^{-rT} K \mathbb{Q} \{ Y \geq \tilde{y} \}$
ただし y~ は
$S_0 \exp \left\{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} \tilde{y} \right\} - K = 0$
の唯一解である。すなわち
$\tilde{y} = \frac{\log{\frac{K}{S_0}} - (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$

C_0 右辺の第二項に関しては、Y が標準正規分布であることから
$e^{-rT} K \mathbb{Q} \{ Y \geq \tilde{y} \} = e^{-rT} K N(-\tilde{y}) = e^{-rT} K N(d_2)$
ただし、N は標準正規分布の累積分布関数（cumulative distribution function、cdf）であり、
$d_2 = -\tilde{y} = \frac{\log{\frac{S_0}{K}} + (r - \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$
とする。

C_0 右辺の第一項に関しては、
$e^{-rT} \int_{\tilde{y}}^{\infty} S_0 \exp \left\{(r - \frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} y \right\} \mathbb{Q} \{ Y \in dy \}$
$= \int_{\tilde{y}}^{\infty} S_0 \exp \left\{(-\frac{1}{2} \sigma^2)T + \sigma \sqrt{T} y \right\} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-y^2 / 2} dy$
$= \int_{\tilde{y}}^{\infty} S_0 \exp \left\{(-\frac{1}{2} \sigma^2)T \right\} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-y^2 / 2 + \sigma \sqrt{T} y \right) dy$
$= \int_{\tilde{y}}^{\infty} S_0 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{1}{2} (y - \sigma \sqrt{T})^2 \right) dy$
$= \int_{\tilde{y} - \sigma \sqrt{T}}^{\infty} S_0 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{1}{2} y^2 \right) dy$
$= S_0 N(d_1)$
ただし
$d_1 = -(\tilde{y} - \sigma \sqrt{T}) = d_2 + \sigma \sqrt{T} = \frac{\log{\frac{S_0}{K}} + (r + \frac{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$