知識メモ
知識メモ
g(x) は x ≧ 0 なる x について減少しない関数とする。このとき
\int_{0}^{n} g(t) dt \leq \sum_{j=1}^{n} g(j) \leq \int_{1}^{n+1} g(t) dt
が成立する。


（例）
g(n) = log n のとき、
n \log n - n \leq \sum_{j=1}^{n} \log j \leq (n+1) \log (n+1) - n
なので
\left( \frac{n}{e} \right)^n \leq n! \leq \frac{(n+1)^{n+1}}{e^n}
がすぐに分かる。

（比較）
Stirlingの公式：
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n
これは誤差の割合が 0 に近づくという意味であって、差は小さくならない。すなわち
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n}{n!} = 1

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解析学
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最終更新：2012年10月08日 20:30