知識メモ
知識メモ
正規分布に従う確率変数に定数を加減乗除してもそれはまた正規分布に従う
加減は省略
乗法は一例を

X \sim N(\mu , \sigma^2)
とする。X = 2Y (Y = X/2) とおく（乗法）。このとき
Y \sim N \left( \frac{\mu}{2} , \frac{\sigma^2}{4} \right)
となっているかを確かめればよい。

（ちなみに平均とか分散は簡単に計算できる。密度関数がきちんと正規分布の体をなしているか見たいだけ）

P(a \leq X \leq b)
= \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right\} dx

一方、

P(a \leq Y \leq b)
= P(2a \leq X \leq 2b)
= \int_{2a}^{2b} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right\} dx

であり、x = 2y とおくと dx = 2dy なので、置換すると

\int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2 \pi (\sigma / 2)^2}} \exp \left\{ -\frac{(y-\mu/2)^2}{2 (\sigma / 2)^2} \right\} dy

となるので、確かめられた。

正規分布に従う確率変数２つを加減してもそれはまた正規分布に従う
  • 独立な場合
簡単のため、二つの確率変数を
X \sim N(0 , r^2) , \ \ \ Y \sim N(u , s^2)
とおく。このとき Z = X + Y が
Z \sim N(u , r^2 + s^2)
となることを確かめたい。

X , Y の密度関数 f(x) , g(x) はそれぞれ
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi r^2}} \exp \left\{ -\frac{x^2}{2 r^2} \right\}
g(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi s^2}} \exp \left\{ -\frac{(x-u)^2}{2 s^2} \right\}
であるので、Z の密度関数 h(t) は、X , Y が独立であることから
h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-x) g(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-t) g(x) dx
として求められる。
後の計算は
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/probability/addition_of_normal_distribution.pdf
などを参照。

和の密度関数の計算については「明解演習 数理統計」P28 を参照。

  • 独立でない場合
簡単のため、確率変数の組 (X,Y) は平均 0 ,分散 1 ,相関係数 ρ (|ρ| < 1) の２変量正規分布に従うとする。
このとき Z = X + Y は
Z \sim N(0 , 2 + 2 \rho)
となるはずである。

U = X + Y , V = X とおく（X = V , Y = U - V）（V のおき方は別に X - Y とかでもかまわない？はず）。
また、f(x,y) を (X,Y) の密度関数とする。これは
f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left\{ -\frac{x^2 - 2 \rho xy + y^2}{2(1 - \rho^2)} \right\}
で与えられる。
このとき (U,V) の密度関数 g(u,v) は
g(u,v) = f(v,u-v) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right|
= f(v,u-v) \left| \left| \begin{array}{cc} 0 &amp; 1 \\ 1 &amp; -1 \end{array} \right| \right|
= f(v,u-v)
= ...
= \frac{1}{2 \pi \sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left\{ -\frac{(v - u/2)^2}{1 - \rho} - \frac{u^2}{4(1 + \rho)} \right\}
として与えられる。
この密度関数の U の周辺密度関数 g_U (u) が、求めたい Z の密度関数となる。これをガウス積分の公式などを用いて計算すると、
g_U (u) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u,v) dv
= \frac{1}{2 \pi \sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left\{ - \frac{u^2}{4(1 + \rho)} \right\} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{(v - u/2)^2}{1 - \rho} \right\} dv
= \frac{1}{2 \pi \sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left\{ - \frac{u^2}{4(1 + \rho)} \right\} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{v^2}{1 - \rho} \right\} dv
= \frac{1}{2 \pi \sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left\{ - \frac{u^2}{4(1 + \rho)} \right\} \times \sqrt{(1 - \rho) \pi}
= \frac{1}{\sqrt{4 \pi (1 + \rho)}} \exp \left\{ - \frac{u^2}{4(1 + \rho)} \right\}
となり、これは確かに N( 0 , 2 ( 1 + ρ ) ) に従う確率変数の密度関数となっている。

タグ：

確率論
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最終更新：2012年09月28日 02:39