知識メモ
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（１）
\exists C > 0 , \ \exists \alpha > 1 \ s.t. \ \lim_{j \to \infty} \frac{s_j}{C/j^\alpha} = 1
ならば
\sum_{j=0}^{\infty} s_j < \infty
が成立する。

（証明）
仮定を言い直せば
s_j j^\alpha \to C
である。いま、1 < β < α なる β をとれば、
j^{-\beta} j^\alpha = j^{\alpha - \beta} \to \infty
となることがわかる。これを上と比較すれば、十分大きい j に対して
s_j &lt; j^{-\beta}
が成立することが分かる。よって、
\sum_{j=0}^{\infty} s_j = \sum_{j=0}^{J} s_j + \sum_{j=J+1}^{\infty} s_j
&lt; \sum_{j=0}^{J} s_j + \sum_{j=J+1}^{\infty} j^{-\beta} &lt; \infty



（２）
β > 0 , A > 0 のとき、
\sum_{n \geq 1} e^{-An^\beta} &lt; \infty
が成立する。

（証明）
アルキメデスの公理より、 mβ > 1 なる正整数 m が存在する。
いま、
\lim_{n \to \infty} \frac{(An^\beta)^m}{e^{An^\beta}} = 0
であることは分かるので、 βm = α > 1 とおくと、十分大きな n に対して
\frac{A^m n^\alpha}{e^{An^\beta}} &lt; A^m
すなわち
e^{-An^\beta} &lt; n^{-\alpha}
が成り立つ。よって
\sum_{n \geq 1} e^{-An^\beta} = \sum_{n=1}^{N} e^{-An^\beta} + \sum_{n=N+1}^{\infty} e^{-An^\beta}
&lt; \sum_{n=1}^{N} e^{-An^\beta} + \sum_{n=N+1}^{\infty} n^{-\alpha} &lt; \infty



この例では調和級数との比較を用いて級数の収束性を議論したが、
他にもコーシーの収束条件を用いたものなどがあるので注意。

タグ：

解析学
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最終更新：2012年10月05日 15:28