確率密度関数と積率母関数・特性関数 - 知識メモ

尖度・歪度の値と形の特徴について疑問を持ったのが発端

尖度・歪度は３次・４次モーメントがわかれば求められる値（原点回りモーメントでもOK）
だから４次くらいまでのモーメントの具体値を与えればそこから何らかの分布に近い密度関数が得られる（数値的にだけ？）と思った

密度関数と積率母関数（より広く適用できる特性関数で考えた方が結局はいい）は一対一関係にある
つまり低次の係数（すなわちモーメント）を与えていけば密度関数が数値的に出てくるはず

密度関数から特性関数を出すのは簡単。
特性関数から密度関数を出すには「レヴィの反転公式」を用いねばならない
実際に求めていく手順については数理ファイナンスのHP
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03_17.htm
の証明部分が参考になる
実際計算してみて思ったのは、特性関数がe^iatみたいな形をしてないとうまく積分ができていかないんじゃないかと思う
つまり、そうでない形の特性関数に対してはフーリエ変換か何かを施して積分できる形に直してやる必要があるのではないかと
だからまたフーリエ変換とかに関しても勉強しなければ

積率母関数ψ(t)=(3e^t+e^-t)/4
の確率変数Xの分布を反転公式で求めると
確率3/4で１、確率1/4で -１をとる確率変数
であることが計算できた