平均三種＝平均値（mean），中央値（median），最頻値（mode）
平均値（mean）：n個の値から演算によって求められる代表値（値のべき乗和をn個で割ってべき乗根した値）
中央値（median）：n個の値から順序によって求められる代表値（大小順でn/2番目の値）
最頻値（mode）：n個の値から頻度によって求められる代表値（同値が最も多い値）
複数の値がある場合、それらの値を代表する中間の値
平均には、様々な計算方法がある
等差数列（a，x，b）におけるxの値
（x-a）＝（b-x）
x＝(a+b)/2
- 相乗平均（＝幾何平均）：対数の相加平均を指数としてeにべき乗したもの
等比数列（a，x，b）におけるxの値
（x/a）＝（b/x）
x＝(ab)^(1/2)
等比数列：対数の等差数列（log a，log x，log b）に等しい
（log x-log a）＝（log b-log x）
log x＝(log a+log b)/2＝1/2・log ab＝log (ab)^(1/2)
x＝(ab)^(1/2)
調和数列（a，x，b）におけるxの値
調和数列＝逆数の等差数列（1/a，1/x，1/b）に等しい
（1/x-1/a）＝（1/b-1/x）
x＝2ab/(a+b)
- 二乗平均平方根：二乗（平方）の相加平均の平方根（二乗根）をとったもの
平方根数列（a，x，b）におけるxの値
平方根数列＝平方数列の等差数列（a^2，x^2，b^2）に等しい
（x^2-a^2）＝（b^2-x^2）
x＝{(a^2+b^2)/2}^(1/2)
- 一般化平均：べき乗の相加平均のべき乗根をとったもの
相加加重平均：加重係数を乗算して相加平均したもの
相乗加重平均：加重係数をべき乗して相乗平均したもの
「互いの相加平均を漸化式とする数列」と「互いの相乗平均を漸化式とする数列」において、n→∞で収束する極限値
a(0)＝a，b(0)＝b
a(n+1)＝（a(n)＋b(n)）/2，b(n+1)＝√（a(n)・b(n)）
「互いの相加平均を漸化式とする数列」と「互いの調和平均を漸化式とする数列」において、n→∞で収束する極限値
a(0)＝a，b(0)＝b
a(n+1)＝（a(n)＋b(n)）/2，b(n+1)＝｛2・a(n)・b(n)｝/｛（a(n)＋b(n)）/2｝
算術調和平均＝互いの初項の相乗平均
「互いの相乗平均を漸化式とする数列」と「互いの調和平均を漸化式とする数列」において、n→∞で収束する極限値
a(0)＝a，b(0)＝b
a(n+1)＝｛2・a(n)・b(n)｝/｛（a(n)＋b(n)）/2｝，b(n+1)＝√（a(n)・b(n)）
「算術幾何平均×調和幾何平均」＝「算術調和平均（＝相乗平均）の2乗」
（2個の場合）
M＝(X+Y)/2
加算して2で割ったもの
X＝Yでは、M＝X＝Y
（一般化した個n数の場合）
M＝{Σ[i，n](Xi)}/n
全てを加算して個数nで割ったもの
（2個の場合）
M＝√(X*Y)＝(XY)^(1/2)
乗算して平方根（2乗根）をとったもの
X＝Yでは、M＝X＝Y
両辺の対数をとった場合
log M＝log {(XY)^(1/2)}＝(1/2)*log XY＝(log X+log Y)/2
M＝exp{(log X+log Y)/2}＝e^{(log X+log Y)/2}
対数をとって、加算して2で割ったものを、自然対数の底eにべき乗したもの
（一般化した個数nの場合）
M＝{π[i，n](Xi)}^(1/n)
全てを乗算して個数n乗根したもの
両辺の対数をとった場合
log M＝{Σ[i，n](log Xi)}/n
M＝exp[Σ[i，n](log Xi)}/n]＝e^[Σ[i，n](log Xi)}/n]
対数をとって、全てを加算して個数nで割ったものを、自然対数の底eにべき乗したもの
（2個の場合）
1/M＝(1/X+1/Y)/2
M＝2/(1/X+1/Y)＝2XY/(X+Y)
逆数をとって加算して2で割って、さらに逆数をとったもの
乗算して2をかけて、加算したもので割ったもの
X＝Yでは、M＝X＝Y
（一般化した個数nの場合）
M＝n/{Σ[i，n](1/Xi)}＝n{π[i，n](Xi)}/{Σ[i，n](Xi)}
全ての逆数をとって加算して個数nで割って、さらに逆数をとったもの
全てを乗算して個数nをかけ、全てを加算したもので割ったもの
（2個の場合）
M＝√{(X^2+Y^2)/2}＝{(X^2+Y^2)/2}^(1/2)
2乗して加算して2で割り、平方根（2乗根）をとったもの
X＝Yでは、M＝X＝Y
（一般化した個数nの場合）
M＝√[{Σ[i，n](Xi^2)}/n]＝[{Σ[i，n](Xi^2)}/n]^(1/2)
全てを2乗して加算して個数nで割り、平方根（2乗根）をとったもの
（2個の場合）
M＝{(X^k+Y^k)/2}^(1/k)
k乗して加算して2で割り、k乗根をとったもの
X＝Yでは、M＝X＝Y
k=-1では、調和平均：M＝[{X^(-1)+Y^(-1)}/2]^{1/(-1)}
k→0では、相乗平均（k=0では値を持たないが、k→0では極限値を持つ）：log M＝(log X+log Y)/2＝log {(XY)^(1/2)}
k=1では、相加平均：M＝{(X^1+Y^1)/2}^(1/1)
k=2では、二乗平均平方根：M＝{(X^2+Y^2)/2}^(1/2)
（一般化した個数nの場合）
M＝[{Σ[i，n](Xi^k)}/n]^(1/k)
全てをk乗して加算して個数nで割り、k乗根をとったもの
k=-1では、調和平均：M＝【（Σ[i，n]{Xi^(-1)}）/n】^{1/(-1)}
k→0では、相乗平均（k=0では値を持たないが、k→0では極限値を持つ）：log M＝（Σ[i，n](log Xi)）/n＝log {（π[i，k](Xi)）^(1/n)}
k=1では、相加平均：M＝【（Σ[i，n](Xi^1)）/n】^(1/1)
k=2では、二乗平均平方根：M＝【（Σ[i，n](Xi^2)）/n】^(1/2)
2個の場合の一般化平均
M＝{(X^k+Y^k)/2}^(1/k)
両辺の対数をとり、
log M＝log [{(X^k+Y^k)/2}^(1/k)]＝(1/k) log {(X^k+Y^k)/2}＝[log {(X^k+Y^k)/2}]/k
ここで、ロピタルの定理を用いる
lim[k→0]{f(k)/g(k)}＝lim[k→0]{f'(k)/g'(k)}
log M＝[log {(X^k+Y^k)/2}]/k＝[log {(X^k+Y^k)/2}]'/(k)'
ここで、対数関数の微分，指数関数の微分，べき関数の微分を利用する
log M＝{2/(X^k+Y^k)}{(X^k log X+Y^k log Y)/2}/1＝(X^k log X+Y^k log Y)/(X^k+Y^k)
ここで、k=0を代入
log M＝(X^0 log X+Y^0 log Y)/(X^0+Y^0)＝(1 log X+1 log Y)/(1+1)＝(log X+log Y)/2
log M＝(log X+log Y)/2＝1/2 log (XY)＝log {(XY)^(1/2)}
＜対数関数の微分＞
{log f(x)}'＝{1/f(x)} {f'(x)}
＜指数関数の微分＞
(a^x)'＝(a^x) (log a)
＜べき関数の微分＞
(x^n)'＝n x^(n-1)
（2個の場合）
M＝(X^k+Y^k)/2
k乗して加算して2で割ったもの
X＝Yでは、M＝X^k＝Y^k
べき乗平均(X^k+Y^k)/2は、一般化平均{(X^k+Y^k)/2}^(1/k)のk乗となっている
（一般化した個数nの場合）
M＝{Σ[i，n](Xi^k)}/n
全てをk乗して加算して個数nで割ったもの
相加平均を減算したもの：偏差
k=2のべき乗平均（偏差の二乗平均）：分散
k=2の一般化平均（偏差の二乗平均平方根）：標準偏差
二乗平均平方根^2＝相加平均^2＋標準偏差^2＝相加平均^2＋分散
（2個の場合）
M＝(αX+βY)/(α+β)＝{α/(α+β)}X+{β/(α+β)}Y
ここで、A＝α/(α+β)，B＝β/(α+β)とおくと、A+B=1
M＝AX＋BY
加重係数を乗算してから加算したもの
α＝βでは、A＝B＝1/2となり、相加平均に等しい
M＝(1/2)X＋(1/2)Y＝(X+Y)/2
（一般化した個n数の場合）
M＝{Σ[i，n](αi Xi)}/{Σ[k，n](αk)}
全てに個々の係数を乗算して加算し、係数の和で割ったもの
Σ[i，n](Ai)＝1の場合は、
M＝Σ[i，n](Ai Xi)
全てに個々の加重係数を乗算して加算したもの
（2個の場合）
M＝(X^α×Y^β)^{1/(α+β)}＝X^{α/(α+β)}×Y^{β/(α+β)}
ここで、A＝α/(α+β)，B＝β/(α+β)とおくと、A+B=1
M＝X^A×Y^B
加重係数をべき乗してから乗算したもの
α＝βでは、A＝B＝1/2となり、相乗平均に等しい
M＝X^(1/2)×Y^(1/2)＝(X×Y)^(1//2)＝√(XY)
（一般化した個n数の場合）
M＝{π[i，n](Xi^αi)}^[1/{Σ[k，n](αk)}]
全てに個々の係数をべき乗して乗算し、（係数の和）乗根したもの
Σ[i，n](Ai)＝1の場合は、
M＝π[i，n](Xi^Ai)
全てに個々の加重係数をべき乗して乗算したもの
（n個の値の全てが正数の場合）
相加平均≧相乗平均≧調和平均
（等号成立のための必要十分条件）
X1＝X2＝・・・＝Xn
（2個の場合）
M＝{(a^n + b^n)/2}^(1/n)で、n＝実数（ただし、n≠0）
・・・{(a^3+b^3)/2}^(1/3) ≧ {(a^2+b^2)/2}^(1/2) ≧ (a+b)/2 ≧ [{a^(1/2)+b^(1/2)}/2]^2 ≧ [{a^(1/3)+b^(1/3)}/2]^3 ≧ ・・・
・・・ ≧ (ab)^(1/2) ≧ ・・・
・・・ ≧ [{a^(-1/3)+b^(-1/3)}/2]^(-3) ≧ [{a^(-1/2)+b^(-1/2)}/2]^(-2) ≧ [{a^(-1)+b^(-1)}/2]^(-1) ≧ [{a^(-2)+b^(-2)}/2]^(-1/2) ≧ [{a^(-3)+b^(-3)}/2]^(-1/3) ≧ ・・・
M＝{(a^n + b^n)/2}^(1/n)＝[{(a/b)^n + 1^n}/2]^(1/n)＝[{(a/b)^n + 1}/2]^(1/n)
変数（a，b）を2つから1つにまとめるため、
ここで、A=(a/b)，n=xと置き換え
M＝{(A^x + 1)/2}^(1/x)
両辺のlogをとる
log M＝log [{(A^x + 1)/2}^(1/x)]＝(1/x)・log {(A^x + 1)/2}
これは、x＝0において1/xを定義できないが、※より極限値はlog {(A・1)^(1/2)}＝1/2・log A）になるため、
ここで、y=log M，e^2=Aと置き換え
y＝(1/x)*log [{(e^2)^x + 1}/2]
ここで、x≠0の範囲においてS字状のグラフとなる
y＝log 1＝0とy＝log (e^2)＝2を漸近線として、（x＝0，y＝1/2・log (e^2)＝log e＝1）で点対称で、xについての増加関数である
lim[x→0]y＝log {(e^2)・1}^(1/2)＝log e＝1
x→0の極限値は、e^2と1の相乗平均（＝e）の対数（＝1）となる
※極限値
y＝(1/x)・log {(A^x + 1)/2}
xy＝log {(A^x + 1)/2}
ここで、両辺をxで微分する
積の微分，対数の微分を用いる
（xy）'＝（log {(A^x + 1)/2}）'
y+xy'＝[1/{(A^x + 1)/2}]・（(A^x + 1)/2）'
＝[1/{(A^x + 1)/2}]・（(1/2)(A^x)+ 1/2）'
＝[1/{(A^x + 1)/2}]・(1/2)(A^x)(log A)
＝(1/2)(A^x)(log A)/{(A^x + 1)/2}
＝(A^x)(log A)/(A^x + 1)
＝(log A)/{1+ 1/(A^x)}
ここで、x＝0の場合
y+0・y'＝(log A)/{1+ 1/(A^0)}
y＝(log A)/{1+ 1/1}＝(log A)/2＝1/2・log A
つまり、y＝1/2・log A＝log {(A・1)^(1/2)}となり、
y＝(1/x)・log {(A^x + 1)/2}＝log [{(A^x + 1^x)/2}^(1/x)]
x＝0の極限値は、Aと1の相乗平均（＝(A・1)^(1/2)）の対数となる
log {(A・1)^(1/2)}＝1/2・log (A・1)＝(log A+log 1)/2
これは、Aの対数と1の対数の相加平均に等しい
相乗平均＝√（相加平均×調和平均）
相乗平均は、相加平均と調和平均の相乗平均に等しい
一般の実数kによる一般化平均は、全てが非負の実数に対してのみ定義される
（一般化平均の式のべき乗根が負数に対し定義できないため）
べき乗根を使わずに計算できる、算術平均（k＝1）と調和平均（k＝-1）は例外的に定義可能
k≠±1では、1つ以上の負数が含まれる場合、一般化平均の定義式は実数を返さないか、実数を返したとしても結果の解釈が難しい
k＜0の場合、1つ以上の0が含まれる場合は、一般化平均の定義式は使えないが、調和平均と同様に0への極限を取ると、一般化平均は0となる
幾何平均（k＝0の一般化平均）も0となる
k≦0の場合、一般化平均は0となる
Σ[i，n](Xi)＝X1+・・・+Xn：n回加算
Σ[i，3](Xi)＝X1+X2+X3：3回加算
π[i，n](Xi)＝X1×・・・×Xn：n回乗算
π[i，3](Xi)＝X1×X2×X3：3回乗算
最終更新：2013年09月26日 21:51
