シグモイド曲線

  • シグモイド関数(広義)
 シグモイド関数と似た性質を持つς型の関数(累積正規分布関数、ゴンペルツ関数など)の総称

  • シグモイド関数(狭義)
  • 標準シグモイド関数
  • ゲインが1の標準シグモイド関数

  • 逆関数は、ロジット関数
  • 特に、標準シグモイド関数とロジット関数は互いに逆関数

  • 導関数と二階導関数は、シグモイド関数自身を使って簡潔に表せる
 導関数をシグモイド関数自身で簡単に導出できるため、微分成分が必要となるプロパゲーションに適している

  • 双曲線正接関数→シグモイド関数(ロジスティック関数の特殊な場合)
 tanh(x):対数の比となる
 導関数は、y=1-(tanh x)^2→ロジスティック分布

  • ロジスティック関数で、r = a,K = 1,t0 = 0の場合
 ロジスティック関数の逆関数は、ロジット関数

  • フェルミ分布関数:フェルミ・ディラック分布関数
  • ボース分布関数:ボース=アインシュタイン分布関数

  • ゴンペルツ関数

  • 累積正規分布関数(累積分布関数)
 標準正規累積分布関数=誤差関数
 導関数は、正規分布関数=ガウス関数→ガウス分布(正規分布)
 逆関数は、プロビット関数

  • 正規分布関数:e^(-x^2)
 ガウス関数
 標準正規分布関数

 1/e^(x^2)
 1/a^(x^2)
 1/(1+x^2)
 1/​sqrt(​1+​x^​2)
 1-(tanh(x))^2
 1/cosh(x)=sech(x)
 sin(x)/x
 sin(x)

  • グーデルマン関数
 arcsin(tanh(x))=arctan(sinh(x))=arctan(tanh(x))=arctan(e^x))
 導関数はsech(x):正規分布関数に似る(双曲線正割分布)

  • 逆双曲線正弦関数
 arsinh(x)

  • 逆正接関数
 arctan(x):tanh(x)に似る
 導関数は、y=1/(1+x^2)→双曲線正割関数sech(x)=t分布,コーシー分布

 シグモイド形状の直線への変換
  • 累積正規分布曲線:プロビット変換
  • ロジスティック曲線:ロジット変換
 y=1/(1+e^(-x))
 y=K/(1+be^(-cx))
 1+be^(-cx)=K/y
 be^(-cx)=(K/y)-1
 log b+log (e^(-cx))=log((K/y)-1)
 log((K/y)-1)=log b+(-cx)
 Y=P+Qx
  • ゴンペルツ曲線:対数化した差分
 y=(1/2)^(e^(-x))
 y=Kb^(e^(-cx))
 log y=log K+log (b^(e^(-cx)))
 log y=log K+(e^(-cx)) log b
 Y=P+QX

  • シグモイド曲線
<基本形>
 x=0でy=(max+min)/2=mean:あるいは中央値
 x→-∞でy=min(漸近線):あるいは単調減少
 x→+∞でy=max(漸近線):あるいは単調増加
 (0,mean)で奇関数(点対称)
 x<0で、0<f'(x)<1 : 下に凸(f'(x):0→1)
 x=0で、f'(x)=1 : 変曲点
 x>0で、0<f'(x)<1 : 上に凸(f'(x):1→0)
 range:
  min=0 → max=+1 : mean=1/2
  min=-1 → max=+1 : mean=0

  • NORMDIST関数
 NORMDIST(x,平均,標準偏差.関数式)
  • x:関数に代入する数値
  • 平均:算術平均(相加平均)
  • 標準偏差:標準偏差
  • 関数形式 関数形式(論理値)
 TRUE:累積分布関数値→S字曲線
 FALSE:確立密度関数値→ガウス分布曲線
  • 平均0,標準偏差1で、標準積分布→NORMSDIST関数


最終更新:2014年01月27日 03:42
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