シグモイド関数と似た性質を持つς型の関数(累積正規分布関数、ゴンペルツ関数など)の総称
- シグモイド関数(狭義)
- 標準シグモイド関数
- ゲインが1の標準シグモイド関数
- 逆関数は、ロジット関数
- 特に、標準シグモイド関数とロジット関数は互いに逆関数
- 導関数と二階導関数は、シグモイド関数自身を使って簡潔に表せる
導関数をシグモイド関数自身で簡単に導出できるため、微分成分が必要となるプロパゲーションに適している
- 双曲線正接関数→シグモイド関数(ロジスティック関数の特殊な場合)
tanh(x):対数の比となる
導関数は、y=1-(tanh x)^2→ロジスティック分布
- ロジスティック関数で、r = a,K = 1,t0 = 0の場合
ロジスティック関数の逆関数は、ロジット関数
- フェルミ分布関数:フェルミ・ディラック分布関数
- ボース分布関数:ボース=アインシュタイン分布関数
標準正規累積分布関数=誤差関数
導関数は、正規分布関数=ガウス関数→ガウス分布(正規分布)
逆関数は、プロビット関数
ガウス関数
標準正規分布関数
1/e^(x^2)
1/a^(x^2)
1/(1+x^2)
1/sqrt(1+x^2)
1-(tanh(x))^2
1/cosh(x)=sech(x)
sin(x)/x
sin(x)
arcsin(tanh(x))=arctan(sinh(x))=arctan(tanh(x))=arctan(e^x))
導関数はsech(x):正規分布関数に似る(双曲線正割分布)
arsinh(x)
arctan(x):tanh(x)に似る
導関数は、y=1/(1+x^2)→双曲線正割関数sech(x)=t分布,コーシー分布
シグモイド形状の直線への変換
- 累積正規分布曲線:プロビット変換
- ロジスティック曲線:ロジット変換
y=1/(1+e^(-x))
y=K/(1+be^(-cx))
1+be^(-cx)=K/y
be^(-cx)=(K/y)-1
log b+log (e^(-cx))=log((K/y)-1)
log((K/y)-1)=log b+(-cx)
Y=P+Qx
y=(1/2)^(e^(-x))
y=Kb^(e^(-cx))
log y=log K+log (b^(e^(-cx)))
log y=log K+(e^(-cx)) log b
Y=P+QX
<基本形>
x=0でy=(max+min)/2=mean:あるいは中央値
x→-∞でy=min(漸近線):あるいは単調減少
x→+∞でy=max(漸近線):あるいは単調増加
(0,mean)で奇関数(点対称)
x<0で、0<f'(x)<1 : 下に凸(f'(x):0→1)
x=0で、f'(x)=1 : 変曲点
x>0で、0<f'(x)<1 : 上に凸(f'(x):1→0)
range:
min=0 → max=+1 : mean=1/2
min=-1 → max=+1 : mean=0
NORMDIST(x,平均,標準偏差.関数式)
- x:関数に代入する数値
- 平均:算術平均(相加平均)
- 標準偏差:標準偏差
- 関数形式 関数形式(論理値)
TRUE:累積分布関数値→S字曲線
FALSE:確立密度関数値→ガウス分布曲線
- 平均0,標準偏差1で、標準積分布→NORMSDIST関数
最終更新:2014年01月27日 03:42