『プログラミングのための線型代数』もくじ

1. 第1章 ベクトル・行列・行列式―「空間」で発想しよう
   1. ベクトルと空間
      1. とりあえずの定義：数値の組をまとめて表す記法
      2. 「空間」のイメージ
      3. 基底
      4. 基底となるための条件
      5. 次元
      6. 座標での表現
   2. 行列と写像
      1. とりあえずの定義：素直な関係を表すための便利な記法
      2. いろいろな関係を行列で表す(1)
      3. 行列は写像だ
      4. 行列の積＝写像の合成
      5. 行列演算の性質
      6. 行列のべき乗＝写像の繰り返し
      7. ゼロ行列・単位行列・対角行列
      8. 逆行列＝逆写像
      9. ブロック行列
      10. いろいろな関係を行列で表す(2)
      11. 座標変換と行列
      12. 転置行列＝？？？
      13. 補足(1)：サイズにこだわれ
      14. 補足(2)：成分で言うと
   3. 行列式と拡大率
      1. 行列式＝体積拡大率
      2. 行列式の性質
      3. 行列式の計算法(1)数式計算
      4. 行列式の計算法(2)数値計算
      5. 補足：余因子展開と逆行列
2. 第2章 ランク・逆行列・一次方程式―結果から原因を求める
   1. 問題設定：逆問題
   2. たちがいい場合（正則行列）
      1. 正則静と逆行列
      2. 連立一次方程式の解法（正則な場合）
      3. 逆行列の計算法
      4. 基本変形
   3. たちが悪い場合
      1. たちが悪い例
      2. たちの悪さと核・像
      3. 次元定理
      4. 「ぺちゃんこ」を式で表す（線形独立・線形従属）
      5. 手がかりの実質的な個数（ランク）
      6. ランクの求め方(1)ぐっと睨んで
      7. ランクの求め方(2)筆算で
   4. たちの良し悪しの判定（逆行列が存在するための条件）
      1. 「ぺちゃんこにつぶれるか」がポイント
      2. 正則性と同値な条件いろいろ
      3. 正則性のまとめ
   5. たちが悪い場合の対策
      1. 求まるところまで求める(1)理論編
      2. 求まるところまで求める(1)実践編
      3. 最小自乗法
   6. 現実にはたちが悪い場合（特異に近い行列）
   7. どう困るか
   8. 対策例──チコノフの正則化
3. 第3章 コンピュータでの計算（1）―─LU分解で行こう
   1. 前置き
      1. 数値計算をあなどるな
      2. 本書のプログラムについて
   2. 肩ならし：加減乗算
   3. LU分解
      1. 定義
      2. 分解して何が嬉しい？
      3. そもそも分解できるの？
      4. LU分解の計算量は？
   4. LU分解の手順(1)普通の場合
   5. 行列式をLU分解で求める
   6. 一次方程式をLU分解で解く
   7. 行列式をLU分解で求める
   8. LU分解の手順(2)例外が生じる場合
      1. 並べ替えが必要になる状況
      2. 並べ換えても行き詰ってしまう状況
4. 第4章 固有値・対角化・Jordan 標準形─―暴走の危険があるかを判断
   1. 問題設定：安定性
   2. 1次元の場合
   3. 対角行列の場合
   4. 対角化出来る場合
      1. 変数変換
      2. 上手い変換の求め方
      3. 座標変換としての解釈
      4. べき乗としての解釈
      5. 結論：固有値の絶対値しだい
   5. 固有値・固有ベクトル
      1. 幾何学的な意味
      2. 固有値・固有ベクトルの性質
      3. 固有値の計算：特性方程式
      4. 固有ベクトルの計算
   6. 連続時間システム
      1. 微分方程式
      2. 1次元の場合
      3. 対角行列の場合
      4. 対角化できる場合
      5. 結論：固有値（の実部）の符号しだい
   7. 対角化できない場合
      1. 先に結論
      2. 対角まではできなくても──Jordan標準形
      3. Jordan標準形の性質
      4. Jordan標準形で初期値問題を解く（暴走判定の最終結論）
      5. Jordan標準形の求め方
      6. Jordan標準形に変換できることの証明
5. 第5章 コンピュータでの計算（2）―─固有値算法
   1. 概観
      1. 手計算との違い
      2. ガロア理論
      3. 5×5以上の行列の固有値を求める手順は存在しない
      4. 代表的な固有値計算アルゴリズム
   2. Jacobi法
      1. 平面回転
      2. 平面回転による相似変換
      3. 計算の工夫
   3. べき乗法の原理
      1. 絶対値最大の固有値を求める場合
      2. 絶対値最小の固有値を求める場合
      3. QR分解
      4. すべての固有値を求める場合
   4. QR法
      1. QR法の原理
      2. Hessenberg行列
      3. Hessenberg法
      4. Hessenberg行列のQR反復
      5. 原点移動・減次
      6. 対称行列の場合
   5. 逆反復法
6. 付録A ギリシャ文字
7. 付録B 複素数
8. 付録C 基底に関する補足
9. 付録D 微分方程式の解法
   1. 型
   2. 型
10. 付録E 内積と対称行列・直交行列
    1. 内積空間
       1. 長さ
       2. 直交
       3. 内積
       4. 正規直交基底
       5. 転置行列
       6. 複素内積空間
    2. 対称行列と直交行列──実行列の場合
    3. エルミート行列とユニタリ行列──複素行列の場合
11. 付録F アニメーションプログラムの使い方
    1. 結果の見方
    2. 準備
    3. 使い方