FIRフィルタとIIRフィルタ

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巡回形と非巡回形

フツーのシステムを考えると、因果関係から
y[k]=\sum_{m=0}^M a_m x[k-m]+\sum_{n=1}^N b_n y[k-n]\cdots (1)
として一般的な差分方程式が書けます。つまり時間kの出力が、それ以降のk+1とかの時間の影響を受けないということです。

ここで式(1)について右辺の\sum_{n=1}^N b_n y[k-n]が無いような場合を考えます。これは要するにフィードバックがないシステムということで
y[k]=\sum_{m=0}^M a_m x[k-m]\cdots(2)
という風になります。このようなシステムを非巡回形と言います。対してフィードバックがある式(1)のような形を巡回形と言います。

式(2)をz変換すると
 Y(z)=\sum_{m=0}^M a_m z^{-m} X(z)
のようになるんで、伝達関数は
 H(z)=\sum_{m=0}^M a_m z^{-m}
のようなz^{-1}の多項式として表すことができます。

次に式(1)をz変換して整理すると
 H(z)=\frac{\sum_{m=0}^M a_m z^{-m}}{1-\sum_{n=1}^N b_n z^{-n}}
という形で持って、巡回型の伝達関数が表せることが分かります。

FIR/IIRフィルタ

普通のフィルタだとインパルスをパッと入れてしばらく待ってると出力は無くなりそうです。
一瞬しか入れてないのにずっとなんか出てきたら怖いですよね。
このように、インパルス応答の継続時間が有限であるようなフィルタをFIRフィルタといいます。

こういう風に特別に名前を付けるということは理論上継続時間が無限であるようなフィルタもあるということです。
このようなフィルタをIIRフィルタと言います。
じゃあどうするとIIRフィルタになるのかというと・・・前項でやったようなフィードバックを掛けてやれば実現できそうですね。

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最終更新:2012年10月20日 23:02
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