texの日本語訳（kiseki）
ソースです。■■■はよく分からない部分です。
\documentclass[a4j,11pt,fleqn]{jarticle}
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\title{P6}
\author{}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section{導入}
合体するSMBH連星はLISAで観測予定のGW源である。
相対論の数学的発展により、上記のGWのルミノシティや波形を予測できる。
ルミノシティのピークは、赤方偏移を見ることによってLISAで観測可能である。
\par
GWが伝播するとき、物質と相互作用する。
GWは周囲のガスの粘性で減衰する。
また、GWは横波で波長は長いので、共振振動数を励起し、陽子の周波数が増幅され、重力子・陽子対を作り、強磁気のプラズマ中でアルフベン波と磁気陽子波が結びつく。
これらの相互作用は非常に弱いため、GWは高密度なところ（超新星爆発の核・γ線バースト・初期宇宙）でも天文学的な距離を減衰せずに進む。
また、合体するSMBHの近傍では明るいEMを出す。
合体するSMBH連星が粘性により作るGWを検出できるかを考える。
\par
中心にSMBHがある2つのガス性銀河が合体するとき、ガスは中心に行き、球状に集まる。
ガスや星間物質があるとGWを放出させ、ハッブルタイムスケールで軌道が小さくなる。
上のような状況なら降着円盤ができる。
2つのSMBHの質量がほぼ等しいとき、円盤の中心に軌道半径の2倍ほどの半径の空洞ができる。
SMBHが合体する最後の周期には、連星の軌道半径が一気に小さくなるので、空洞の半径が小さくなる動きは追いつけず、空洞の半径は最小値$r_{min}$で止まる。
\[ r_{min} \sim 120r_S q_0^{0.45}M_7^{0.07} ここで r_S=\frac{2GM}{c^2} q_0=\frac{4q}{(1+q)^2}\]
このGWを放出する空洞のある円盤はEMも放出する。
\par
GWに対応するEMが十分明るいなら、望遠鏡で観測できる。
これは、一般相対論の検証に使える。
GW源からのEMを特定できたら嬉しい。
\par
SMBHの合体からのEM放射には以下の4つの機構がある。\\
(i) 初期の連星の軌道運動で重力ポテンシャルが周期的に変化することによる放射\\
(ii) 連星が合体するときGWバーストで質量が突然減り、円盤の構造が変化することによる放射\\
(iii) ■■■\\
(iv) SMBHの残りのガスの落ち込みによる放射\\
粘性によりGWが加熱するEMは■■■螺旋運動の後のほうで、連星間距離より十分遠いところで(i)のときに多い。なぜなら、周期的なポテンシャル変動は(i)
粘性によりGWが散逸するとき、EMはGWバーストのピークから数時間～数日後に発生する。
(ii)で質量が減るとき、数日～数週間（軌道運動のタイムスケール）かかって円盤のガスが反応してEMが発生する。
超音速衝撃(iii)は乱れが■■■数ヶ月～数年のあいだに起こる。
(iv)は合体が起きてからほんの数年後に起こる。
\section{SMBHの合体からのGW}
SMBHの連星が合体するときに生じるGWは、スピン2の球面テンソル調和振動で書ける。
GWのエネルギーフラックスを遠距離の近似を使って求める。
球面座標を用いて(1)式のように書ける。
\begin{equation}
e_{GW}(t,r,\theta,\phi)=Y(\theta)\frac{L_{GW}(t_{ret})}{4\pi cr^2}
\end{equation}
\[ここで Y(\theta)=\frac{5}{2}(\sin^8\frac{\theta}{2}+\cos^8\frac{\theta}{2}) t_{ret}=t-\frac{r}{c} L_{GW}\propto \left\{
\begin{array}{ll} q_0^2 \left( \frac{|q_0t-t_1|}{t_1} \right)^{-\frac{5}{4}} &,t<0 \quad \\
Const &,0<t<t_1 \quad \\ \exp{-\frac{ct}{2.5r_S}} &,t_1<t \quad \end{array} \right. \]
全時間を考え、$t\ll0$で古典的なルミノシティ$L_{insp}^{GW}$になるように$t_1$を決め、数学的にピークのルミノシティ$L_{peak}^{GW}$を計算すると、以下のようになる。
\[ L_{insp}^{GW}=\frac{1}{32}\left(\frac{5}{64}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{c^5q_0^{\frac{3}{4}}}{G} L_{peak}^{GW}\approx 10^{-3}\frac{c^5q_0^2}{G}\]
これは、SMBHの規模とスピンの向きによるが、2倍くらいの精度で正しい。
放出される全GWのエネルギーは以下で与えられ、$\kappa/q_0^2$はよく5％を用いる。
\[\Delta E_{GW}=\int _{-\infty}^{\infty}L_{GW}dt=\kappa Mc^2 3\% \leq \frac{\kappa}{q_0^2}\leq 7\%\]
GWバーストのタイムスケールは以下で与えられる。
\[\Delta t_{GW}=\frac{\kappa Mc^2}{L_{peak}^{GW}}\sim\frac{20r_S}{c} \]
\section{粘性のある媒介中でのGWによる放射}
粘性のある媒介中での圧力エネルギー運動量テンソル$T_{\mu\nu}$は、$\eta$を動粘性係数、$\sigma_{\mu\nu}$を流体の減少率として、$T_{\mu\nu}=-2\eta\sigma_{\mu\nu}$と書ける。
GWは横波なので、$\dot{}$を時間微分、$h_{\mu\nu}$を計量の摂動として、$\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\dot{h}_{\mu\nu}$と書ける。
重力が弱いところで、アインシュタイン方程式は$ \square h_{\mu\nu}=-16\pi G\eta\dot{h}_{\mu\nu}/c^4$と書けるので、GWが加熱するエネルギー密度$e$は以下のように書ける。
\begin{equation}
\dot{e}_{heat}=-\dot{e}_{GW}=\frac{16\pi G\eta}{c^4}e_{GW}
\end{equation}
よって、エネルギー密度はタイムスケール$t_d=\left(16\pi G\eta/c^2\right)^{-1}$で指数関数的に減少する。
\section{降着円盤の加熱}
降着円盤のモデルとして、αモデルを導入する。（薄くて$H(r)\ll r$、温度が低い$T\gtrsim 10^6$）
粘性係数$\eta(r)$は、角速度$\Omega=GM/r^3$、$\alpha\gtrsim 1$、圧力$P(r)=P_{gas}^bP_{tot}^{1-b}(0<b<1)$として、以下のように与えられる。
\[\eta(r)=\frac{2\alpha P(r)}{3\Omega(r)} ここで \Omega=GM/r^3 \alpha\gtrsim 1 P(r)=P_{gas}^bP_{tot}^{1-b}(0<b<1)\]
質量の時間変化$\dot{M}$は、放射ルミノシティ$L_E(M)$、放射と質量の比$\epsilon$を用いて以下のように書ける。
\[\dot{M}=\dot{m}\dot{M}_E ここで \dot{M}_E=\epsilon\frac{L_E}{c^2}\]
$\kappa$が決まったら、降着モデルは$\dot{m}、\epsilon、b、M$によって決まる。
温度$T$、面密度$\Sigma$、厚み$H$もこれらの変数によって決まる。
\par
円盤表面で単位体積当たりにGWが得るエネルギー$H\dot{e}_{heat}$は、(2)式より$\eta H$という項によって決まる。
ここで、$\eta H$は以下に示すように$\dot{M}$にのみ依存している。（動摩擦係数：$\nu$、質量密度：$\rho$）
\begin{equation}
\eta(r)H(r)=\frac{\nu(r)\Sigma(r)}{2}=\frac{\dot{M}}{6\pi}=Const
\end{equation}
\[ここで \nu=\frac{\eta}{\rho}=\frac{2\eta H}{\Sigma}\]
式(1)(2)(3)より、円盤表面で単位体積当たりに放射するGWが加熱して発生するエネルギーは、粘性や不透明度によって決まる。
\begin{equation}
H\dot{e}_{heat}=\frac{16\pi G}{c^2}\eta He_{GW}=\frac{8}{3}\frac{G}{c^3}\dot{M}Y(\theta)\frac{L_{GW}(t_{ret})}{4\pi r^2}
\end{equation}
■■■\\
加熱率$H\dot{e}_{heat}$は$\dot{M}$に比例するが、他は円盤のパラメータとは独立に決まる。
\par
加熱率$H\dot{e}_{heat}$は降着円盤の放射率$H\dot{e}_{disk}$と比較すると以下のように書ける。（$L_{-3}^{GW}$はGW放射がピークのとき$\sim 1$）
\begin{equation}
\frac{\dot{e}_{heat}(t_{ret},r)}{\dot{e}_{disk}(r)}=\frac{32}{9}Y(\theta)r_3L_{-3}^{GW}(t_{ret})
\end{equation}
\[ここで H\dot{e}_{disk}=\frac{3GM\dot{M}}{8\pi r^3} L_{-3}^{GW}=\frac{L_{GW}}{10^{-3}c^5/G}\]
$r_3\gtrsim 1$のとき、（$\frac{32}{9}Y$がかかるが）GWが加熱して発生するエネルギー$\dot{e}_{heat}$は降着円盤自身から発生するエネルギー$\dot{e}_{disk}$を上回る。
もし、降着円盤と連星の回転軸が同じとき、$\dot{e}_{heat}/\dot{e}_{disk}=\frac{10}{9}r_3$である。
この結果は一般的で、質量や降着円盤のパラメータに依存しない。
\section{冷却のタイムスケール}
GWが作った熱はEMとなって放射される。
どのようにEMが出るかは、穴の開いた降着円盤の垂直方向の熱伝導が分かればよい
\par
降着円盤中で光子は散乱されるので、光子が降着円盤を横切るタイムスケールは、オプティカルデプス$\tau(r)\gg 1$を用いて以下のようになる。
\[t_{diff}\sim\frac{\tau H}{c}\]
また、熱エネルギーが乱れとなって拡散するタイムスケールは、$c_s$を音速として以下で与えられる。
\[t_{therm}\sim\frac{t_{dyn}}{\alpha} ここで t_{dyn}\sim\frac{H}{c_s}\sim\frac{1}{\Omega} \]
GWが作った熱は上記のように放射（拡散）されるので、拡散のタイムスケールは以下で表現される。
\[t_c=min(t_{diff},t_{therm})\]
\par
放射のタイムスケールを考える。
粘性はガス量や圧力に比例すると考え、
電子の拡散度合い■■■？で決まる不透明度を$\kappa_{es}=0.35\mathrm{[cm^2/g]}$、
自由-自由■■■？で決まる不透明度を$\kappa_{ff}=6.9\times10^{22}\rho T^{-\frac{7}{2}}\mathrm{[cgs]}$、
エディントンの降着率■■■？$\dot{m}=0.1\mathrm{or}1$とする。
また、$\alpha=0.3、M_7=1\mathrm{or}10$とする。（図1参照）
降着円盤は3つの部分に分けられる。\\
(a)放射圧が効く内部\\
(b)ガス圧と$\kappa_{es}$が効く中間部\\
(c)ガス圧と$\kappa_{ff}$が効く外部\\
領域(a)では粘性がよく効く。
$\eta\propto P_{gas}$なら$t_{diff}\sim t_{dyn}$、一方$\eta\propto P_{tot}$なら放射の影響は少なく$t_c\sim t_{therm}$である。
典型的なパラメータだと、(c)は自己重力でばらばらになるような半径の大きいところまである。
$\dot{m}=0.1、0.1\lesssim M_7\lesssim10$を採用すると、全半径において以下のようになる。
\begin{equation}
3\lesssim\frac{ct_c(r)}{r}\lesssim 30
\end{equation}
ガスが低密度のところでは、■■■
\section{円盤の発光}
定常な円盤は、粘性のタイムスケールが十分大きいので、妥当なタイムスケールでは半径方向に熱の移動はない。（$t_c\ll t_{visc}\sim r^2/\nu\sim t_{therm}(r/H)^2$）
GWが加熱して生ずるフラックス（$\Delta F(t,r)\equiv F(t,r)-F_{disk}(t,r)$）は、以下のように拡散方程式で書ける。
\begin{equation}
t_c\Delta\dot{F}+\Delta F=H\dot{e}_{heat}
\end{equation}
\[\left(\because\Delta F=\frac{eH}{t_c}\longrightarrow\Delta\dot{F}=\frac{\dot{e}H}{t_c} に \dot{e}=\dot{e}_{heat}-\frac{\Delta F}{H} を代入 \right)\]
観測されるフラックスは円盤のパラメータ$t_c(r)$に依存する。\\
i)$t_c(r)\ll\Delta t_{GW}$のとき
\[(7)\rightsquigarrow \Delta F=H\dot{e}_{heat}\]
\[\Longrightarrow\frac{\Delta F}{F_{disk}}=\frac{H\dot{e}_{heat}}{H\dot{e}_{disk}}=\frac{32}{9}Y(\theta)r_3L_{-3}^{GW}(t_{ret})\]
ii)$t_c(r)\gg\Delta t_{GW}$のとき
\[(7)\rightarrow\Delta F=\frac{\Delta t_{GW}}{t_c}e^{-\frac{t_{ret}}{t_c}}H\dot{e}_{heat} \]
\begin{eqnarray*}
\Longrightarrow\frac{\Delta F}{F_{disk}} &=& \frac{H\dot{e}_{heat}}{H\dot{e}_{disk}}\frac{\Delta t_{GW}}{t_c}e^{-\frac{t_{ret}}{t_c}}\\
&=& \frac{32}{9}Y(\theta)r_3L_{-3}^{GW}(t_{ret})\frac{\frac{\kappa Mc^2}{L_{peak}^{GW}}}{t_c}e^{-\frac{t_ret}{t_c}}\\
&=& \frac{32}{9}Y(\theta)\left(\frac{r}{10^3\times 2GM/c^2}\right)\left(\frac{L_{GW}}{10^{-3}\times c^5/G}\right)\frac{\kappa Mc^2}{L_{peak}^{GW}t_c}e^{-\frac{t_ret}{t_c}}\\
&=& \frac{16}{9}\kappa Y(\theta)\frac{r}{ct_c}\left(\frac{L_{GW}}{L_{peak}^{GW}}e^{-\frac{t_{ret}}{t_c}}\right)\\
\end{eqnarray*}
\[\frac{L_{GW}}{L_{peak}^{GW}}e^{-\frac{t_{ret}}{t_c}}\le 1より=1のとき最大になる。\]
i)とii)をまとめると下のようになる。
\begin{equation}
\frac{\Delta F(t_{ret},r)}{F_{disk}(r)}\approx
\begin{cases}
\frac{32}{9}Y(\theta)r_3L_{-3}^{GW}(t_{ret}) & \text{($\Delta t_{GW}\gg t_c$)}\\
\frac{16}{9}\kappa Y(\theta)\frac{r}{ct_c} & \text{($\Delta t_{GW}\ll t_c$)}
\end{cases}
\end{equation}
$L_{-3}^{GW}=1、Y=1、\kappa=3％、r/(ct_c)=0.1$を代入すると、それぞれの場合$\Delta F/F_{disk}\sim\left(3.6r_3、0.005 \right)$となる。
円盤の向きによって$Y(\theta)$が3倍くらい変化する。
円盤の全ルミノシティは、遅延時間$t'_{ret}=t-\frac{r}{c}(1-sin\theta_{obs}cos\phi_{disk})$、ディスクの傾き$\theta_{obs}$、ディスク上の位置を決める角度$\phi_{disk}$、赤方偏移によるルミノシティ距離$d_L(z)$として、以下のようになる。
\begin{equation}
\Delta L(t)=\frac{cos\theta_{obs}}{4\pi d_L^2}\int_{r_{min}}^{r_{max}}\int_0^{2\pi}\Delta F(t'_{ret},r)rd\phi_{disk}dr
\end{equation}
(7)式に$L_{GW}$を代入して(9)式のように積分して数値的にルミノシティを計算した結果が図2である。
円盤の内側($r<r_{min}$)は空洞で、変数は($q_0、\dot{m}、\alpha、b、M_7、Y$)$=$($1、0.1、0.3、0、1、2.5$)とし、2パターン「(i) $t_c\ll r/c$」「(ii) $t_c(r)$は$\alpha$モデルに基づく」を考える。
■■■（赤の間違い？）青い点線は円盤を上から（$\theta_{obs}=0$）、■■■（青の間違い？）赤い実線は円盤を横から（$\theta_{obs}=\pi/2$）見たときである。
EMはGWより減衰しやすいので$\theta_{obs}$の影響を受けやすい。
円盤が横を向いているとき、円盤の外側の部分が見えるのでフレアは同時に見え、■■■（訳がよく分からん？）遅延は方向によって変わる。
しかし、正面を向いているとき、違う周期が同時に見え、遅延は半径とともに大きくなる。
正面を向いているとき、EMのルミノシティのピークはGWのピークに対して$t_c(r_{min})+(r_{min}/c)cos\theta_{obs}$くらい遅れる。
EM曲線は特徴的な形をしている。
螺旋のときは$\Delta L\propto|t|^{-\frac{5}{4}}$、ピーク後（$\sim t_{cool}\sim 10r_{max}/c$）くらいのときは$\Delta L\propto t^{-1}$、その後は指数関数的に減衰する。
異なる質量に対して、$\Delta L$は$q_0^2$で減衰する。
\section{考察}
GWピークからのEMピークの遅れ時間をグラフから読み取ると、$\sim 10M_7\mathrm{[h]}$くらいになる。
$t_c\ll\frac{r}{c}$のとき
\[\frac{\Delta L}{L_{disk}}\sim\frac{r_{min}}{10^3r_S} \left(\because\text{グラフより }\frac{\Delta L}{L_{disk}r_{min,2}}\sim 0.1\right) \]
$\alpha$-diskのとき上記よりも$130\dot{m}^{\frac{4}{5}}M_7^{\frac{1}{5}}$だけ小さい。
\end{document}
最終更新：2009年03月08日 00:51
