Q１ - 整数問題bot②　解答集 - atwiki（アットウィキ）

Q１

$p^4+2p+q^4+q^2=r^2+4q^3+1\$ を満たす
素数の組 $(p,q,r)$ を全て求めよ.

(2013 トルコジュニア数学オリンピック)

[解答]

$p,q,r$ が全て奇素数であると仮定すると,与式の左辺は奇数であるが、
右辺は偶数なので矛盾.
よって $p,q,r$ のうち少なくとも1つは $2$ である.

$(i)r=2$ のとき

与式は $p^4+2p-5=4q^3-q^4-q^2$ となる.
$q=2$ のとき, $p(p^3+2)=17$ であり,
$p$ は素数なので $p=17$ かつ $p^3+2=1$ となって不適.
$q=3$ のとき, $p(p^3+2)=23$ であり,
$p$ は素数なので $p=23$ かつ $p^3+2=1$ となって不適.
$q \geqq 5$ のとき, $p \geqq 2$ より,
$0 \leqq p^4+2p-5=4q^3-q^4-q^2<q^3(4-q)<0$
となって不適.

$(ii)q=2$ のとき

与式は $p^4-r^2=13-2p$ となる.この右辺は奇数であり,
$(i)$ より $r$ は奇素数なので $p=2$
よって $r^2=7$ となって不適.

$(iii)p=2$ のとき

与式は $q^4-4q^3+q^2+19=r^2$ となる.
$(ii)$ より $q \geqq 3$
$q=3$ のとき, $r=1$ となって不適.
$q=5$ のとき, $r=13$ となって適する.
$q \geqq 7$ のとき,
$q^4-4q^3+q^2+19-(q^2-2q-2)^2=(q-4)^2-1&gt;0$ と
$(q^2-2q-1)^2-(q^4-4q^3+q^2+19)=q(q+4)-18&gt;0$ より
$(q^2-2q-2)^2&lt;r^2&lt;(q^2-2q-1)^2$
よって, $r^2$ は連続する2つの平方数の間にあるので平方数になりえず,不適.

以上より,求める組は $(p,q,r)=(2,5,13)$

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最終更新：2025年05月19日 20:14

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